Fonctions trigonométriques

Exercice 3.1   Pour tout $x$ réel, simplifier les sommes suivantes :

$$A=\cos x+\cos\left( x+\frac{2\pi}{3}\right) +\cos\left( x+\frac{4\pi} {3}\right)$$   et $$B=\sin x+\sin\left( x+\frac{2\pi}{3}\right) +\sin\left( x+\frac{4\pi}{3}\right)$$

Exercice 3.2   Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

1. $\sin x=\sin\left( 2x+\dfrac{\pi}{2}\right)$

2. $\cos\left( \dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right) =\cos\left( \dfrac {x}{3}-\dfrac{\pi}{6}\right)$

3. $\sin\left( 3x-\dfrac{\pi}{4}\right) =\cos\left( x+\dfrac{\pi} {3}\right)$

Exercice 3.3   Déterminer la valeur de $a$ élément de $\left[ 0,\frac{\pi}{2}\right]$ sachant que $\tan a=2-\sqrt{3}.$ On pourra utiliser $\tan2a.$

Exercice 3.4   Calculer les valeurs de :

$$\cos\frac{\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12}+\sin\frac{\pi}{12}\sin\frac{5\pi} {12}$$et $$\cos\frac{\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12}-\sin\frac{\pi} {12}\sin\frac{5\pi}{12}$$

En déduire les valeurs de $\cos\frac{\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12}$ et de $\sin\frac{\pi}{12}\sin\frac{5\pi}{12}.$

Exercice 3.5   Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation

$$\sqrt{3}\cos x+\sin x=1$$

Exercice 3.6   On désigne par $\theta$ le réel compris entre 0 et $\frac{\pi}{2}$ tel que $\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{5} }.$
Déterminer la valeur de $\sin\theta ,$ et en déduire l'expression des solutions de l'équation

$$2\cos x+4\sin x=\sqrt{15}$$

en fonction de $\theta.$

Exercice 3.7   On se propose dans cet exercice d'utiliser les fonctions trigonomé triques pour résoudre une équation du troisième degré.

1. Exprimer $\cos3a$ en fonction de $\cos a,$ pour $a\in\mathbb{R}.$

2. Soit $f$ la fonction définie sur $\left[ -1,1\right]$ par $f\left( x\right) =4x^{3}-3x-\frac{1}{2}.$
   1. Etudier les variations de $f$ et construire sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère $\left( O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right) .$

   2. Résoudre graphiquement l'équation $f\left( x\right) =0.$

   3. Justifier que l'on peut poser $\cos\alpha=x,$ avec $\alpha$ élément de $\left] 0,\pi\right[ .$ Dé duire des questions précédentes les valeurs exactes des solutions de l'équation $f\left( x\right) =0.$

Exercice 3.8   Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation

$$\cos^{4}x+\sin^{4}x=\frac{3}{4}$$

Exercice 3.9   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f\left( x\right) =1-\cos3x+\cos2x-3\cos x$$

1. Démontrer que $f$ est une fonction paire et périodique de période $2\pi.$

2. Factoriser $f\left( x\right) ,$ et en déduire le signe de $f\left( x\right)$ sur $\left[ 0,\pi\right] .$

3. Calculer $f^{\prime}\left( x\right) ,$ et le factoriser. Démontrer qu'il existe un unique réel $\alpha\in\left[ 0,\pi\right]$ tel que $\cos\alpha=\frac{1}{3}.$ Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\left[ 0,\pi\right] .$