Division euclidienne des polynômes

Théorème 1.5   Soient $P$ et $Q$ deux éléments de $\mathbb{K}\left[ X\right] .$ Il existe deux polynômes $A$ et $B$ uniques vérifiant

$$P=AQ+B$$ et $$\deg\left( B\right) <\deg\left( Q\right)$$

Définition 1.14   Le polynôme $A$ est appelé le quotient de la division euclidienne de $P$ par Q. Le polynôme $B$ est appelé le reste de la division euclidienne de $P$ par $Q. \index{Division!euclidienne}$

Exemple : On se propose d'effectuer la division euclidienne de $P=X^{5}-3X^{4}+X^{3}-X+1$ par $Q=X^{3}+X+1.$

$$\begin{tabular}[c]{llllll\vert llll} $X^{5}$\ & $-3X^{4}$\ & $+X^... ...& & & & & \\ \cline{2-5} & & & $2X^{2}$\ & $+2X$\ & $+1$\ & & & & \end{tabular}$$

On a donc $X^{5}-3X^{4}+X^{3}-X+1=\left( X^{3}+X+1\right) \left( X^{2}-3X\right) +\left( 2X^{2}+2X+1\right)$

Exercice 1.10   Effectuer la division euclidienne du polynôme $2X^{5}+X^{4}+2X^{3}-1$ par le polynôme
$X^{2}-X+3.$