Variance de la somme de deux variables aléatoires indépendantes.

Théorème 7   $X$ et $Y$ étant deux variables aléatoires indépendantes, on a :

$$V(X+Y)=V(X)+V(Y)$$

Exemple 3   Soit $X$ et $Y$ les variables aléatoires dont les lois sont données ci-dessous :

$x_{i}$	0	10	20
$p(X=x_{i})$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$

$y_{i}$	-5	10	15	20
$p(Y=y_{i})$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{1}{10}$

On montre que

$$E(X)\backsimeq 7,5\; \sigma (X)\backsimeq 8,29\; E(Y)\backsimeq 10,25\; \sigma (Y)\backsimeq 8,13$$

Soit $Z$ la variable aléatoire définie par $Z=X+Y$. Cette variable aléatoire prend la valeur $-5$ avec une probabilité de

$$p(Z=-5)=p(X=0)\times p(Y=-5)=\frac{1}{10}$$

Elle prend la valeur 15 avec la probabilité :

$$p(Z=15)=p(X=0)\times p(Y=15)+p(X=20)\times p(Y=-5)=\frac{11}{40}$$

La loi de probabilité de $Z$ est donnée par :

$z_{i}$	-5	10	15	20	5	25	30	35	40
$p(Z=z_{i})$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{11}{40}$	$\frac{9}{80}$	$\frac{1}{20}$	$\frac{9}{80}$	$\frac{7}{80}$	$\frac{9}{80}$	$\frac{1}{40}$

On retrouve bien sur cet exemple les propriétés énoncées, car

$$E(Z)\backsimeq 17,75\; \sigma ^{2}(Z)\backsimeq 134,85$$