Calcul des coefficients

Soit une série trigonométrique convergente sur $\mathbb{R}$ et de somme $f$. On montre que :

$$a_{0}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f\left( t\right) dt$$

et que pour tout $n$ entier supérieur ou égal à $1$ :

$$\frame{$a_n=\dfrac{1}{\pi} {\displaystyle\int_0^{2\pi}} f\left( t... ...}{\pi} {\displaystyle\int_0^{2\pi}} f\left( t\right) \sin\left( nt\right) dt$}$$

On remarquera que grâce à la périodicité, il est possible de calculer ces intégrales sur tout intervalle $\left[ \alpha,\alpha +2\pi\right]$, où $\alpha$ est un réel quelconque.

Si la fonction $f$ est paire, alors les coefficients $b_{n}$ sont tous nuls.

Si la fonction $f$ est impaire, alors les coefficients $a_{n}$ sont tous nuls.