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Equations différentielles du premier ordre à variables séparables

Définition 8.5   Une équation différentielle du premier ordre est dite à variables séparables si elle peut s'écrire sous la forme :

$\displaystyle f\left( x\right) \,dx=g\left( y\right) \,dy
$

Pour la résoudre, on intégre les deux membres séparément, sans oublier les constantes d'intégration. Résolvons par exemple l'équation différentielle :

$\displaystyle y-\frac{y^{\prime}}{2x}=1$ sur $\displaystyle \mathbb{R}_{+}^{\ast}
$

On écrit cette équation sous forme différentielle, puis on sépare les variables :

$\displaystyle y-\frac{dy}{2x\,dx}=1\Leftrightarrow y-1=\frac{dy}{2x\,dx}\Leftrightarrow
\frac{dy}{y-1}=2x\,dx
$

Par intégration de cette relation, il vient :

$\displaystyle \int\frac{dy}{y-1}=\int2x\,dx\Leftrightarrow\ln\left( \frac{y-1}{k}\right)
=x^{2}\Leftrightarrow y-1=ke^{x^{2}}
$

en choisissant la constante $ k$ réelle telle que $ k\left( y-1\right)
>0.$ On en déduit que l'ensemble des solutions est constitué des fonctions $ x\mapsto1+ke^{x^{2}}.$

Exercice 8.3   Résoudre sur $ \mathbb{R}$ l'équation différentielle :

$\displaystyle \left( x^{2}+1\right) y^{\prime}=xy
$

Exercice 8.4   Résoudre sur $ \mathbb{R}_{+}^{\ast}$ l'équation différentielle :

$\displaystyle y-2xy^{\prime}=1
$



Michel 2002-08-06