Equations différentielles du premier ordre à variables séparables

Définition 8.5   Une équation différentielle du premier ordre est dite à variables séparables si elle peut s'écrire sous la forme :

$$f\left( x\right) \,dx=g\left( y\right) \,dy$$

Pour la résoudre, on intégre les deux membres séparément, sans oublier les constantes d'intégration. Résolvons par exemple l'équation différentielle :

$$y-\frac{y^{\prime}}{2x}=1$$ sur $$\mathbb{R}_{+}^{\ast}$$

On écrit cette équation sous forme différentielle, puis on sépare les variables :

$$y-\frac{dy}{2x\,dx}=1\Leftrightarrow y-1=\frac{dy}{2x\,dx}\Leftrightarrow \frac{dy}{y-1}=2x\,dx$$

Par intégration de cette relation, il vient :

$$\int\frac{dy}{y-1}=\int2x\,dx\Leftrightarrow\ln\left( \frac{y-1}{k}\right) =x^{2}\Leftrightarrow y-1=ke^{x^{2}}$$

en choisissant la constante $k$ réelle telle que $k\left( y-1\right) >0.$ On en déduit que l'ensemble des solutions est constitué des fonctions $x\mapsto1+ke^{x^{2}}.$

Exercice 8.3   Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle :

$$\left( x^{2}+1\right) y^{\prime}=xy$$

Exercice 8.4   Résoudre sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ l'équation différentielle :

$$y-2xy^{\prime}=1$$