next up previous contents
suivant: Fractions rationnelles monter: Arithmétique dans précédent: Polynômes premiers entre eux   Table des matières

Polynômes irréductibles

Définition 1.18   $ P$ est irréductible dans $ \mathbb{K}\left[ X\right] $ si $ P$ n'est pas constant et si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et les polynômes $ aP,$ avec $ a\in\mathbb{K}^{*}.
\index{Polyn\^{o}me!irreductible}$

Théorème 1.7 (de d'Alembert)   Dans $ \mathbb{C}\left[ X\right] ,$ les seuls polynômes irréductibles sont ceux de degré $ 1.$ Dans $ \mathbb{R}\left[ X\right] ,$ les seuls polynômes irréductibles sont ceux de degré $ 1$ et ceux de degré $ 2$ dont le discriminant est strictement négatif.

Théorème 1.8   Tout polynôme de $ \mathbb{K}\left[ X\right] $ s'écrit de manière unique sous la forme :

$\displaystyle aP_{1}^{\alpha_{1}}P_{2}^{\alpha_{2}}\ldots P_{n}^{\alpha_{n}}
$

avec $ a$ $ \in\mathbb{K}^{*}.$ Les $ P_{i}$ étant des polynômes irréductibles, unitaires et tous distincts. Les $ \alpha_{i}$ sont des entiers non nules et $ n$ est un certain entier qui dépend du polynôme.

Définition 1.19   Un polynôme est scindé si tous ses facteurs irréductibles sont de degré au plus égaux à $ 1.
\index{Polyn\^{o}me!scinde}$

Proposition 1.6   Si $ P$ est un polynôme scindé de degré $ n,$ et si $ a_{i}$ est racine d'ordre $ \alpha_{i},$ alors $ \sum\alpha_{i}=n.$

On peut en déduire qu'un polynôme de degré $ n$ a exactement $ n$ racines dans $ \mathbb{C},$ en comptant chaque racine avec son ordre de multiplicité.

Exercice 1.12   Soit $ P\left( X\right) =\left( X-1\right) ^{3}\left( X+2\right) \left(
X+1\right) ^{4}$ et $ Q\left( X\right) =X^{3}\left( X-1\right) ^{2}\left(
X+1\right) ^{5}.$ Déterminer un PGCD et un PPCM de $ P$ et de $ Q.$

Exercice 1.13   On admet que si $ P$ et $ Q$ sont deux polynômes et $ R$ le reste de la division de $ P$ par $ Q,$ alors

$\displaystyle PGCD\left( P,Q\right) =PGCD\left( Q,R\right)
$

A l'aide de cet algorithme, déterminer le PGCD de

$\displaystyle X^{7}+X^{6}+X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1$ et de $\displaystyle X^{5}+X^{4}+X^{3}
+X^{2}+X+1
$


next up previous contents
suivant: Fractions rationnelles monter: Arithmétique dans précédent: Polynômes premiers entre eux   Table des matières
Michel 2002-08-06