Polynômes irréductibles

Définition 1.18   $P$ est irréductible dans $\mathbb{K}\left[ X\right]$ si $P$ n'est pas constant et si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et les polynômes $aP,$ avec $a\in\mathbb{K}^{*}. \index{Polyn\^{o}me!irreductible}$

Théorème 1.7 (de d'Alembert)   Dans $\mathbb{C}\left[ X\right] ,$ les seuls polynômes irréductibles sont ceux de degré $1.$ Dans $\mathbb{R}\left[ X\right] ,$ les seuls polynômes irréductibles sont ceux de degré $1$ et ceux de degré $2$ dont le discriminant est strictement négatif.

Théorème 1.8   Tout polynôme de $\mathbb{K}\left[ X\right]$ s'écrit de manière unique sous la forme :

$$aP_{1}^{\alpha_{1}}P_{2}^{\alpha_{2}}\ldots P_{n}^{\alpha_{n}}$$

avec $a$ $\in\mathbb{K}^{*}.$ Les $P_{i}$ étant des polynômes irréductibles, unitaires et tous distincts. Les $\alpha_{i}$ sont des entiers non nules et $n$ est un certain entier qui dépend du polynôme.

Définition 1.19   Un polynôme est scindé si tous ses facteurs irréductibles sont de degré au plus égaux à $1. \index{Polyn\^{o}me!scinde}$

Proposition 1.6   Si $P$ est un polynôme scindé de degré $n,$ et si $a_{i}$ est racine d'ordre $\alpha_{i},$ alors $\sum\alpha_{i}=n.$

On peut en déduire qu'un polynôme de degré $n$ a exactement $n$ racines dans $\mathbb{C},$ en comptant chaque racine avec son ordre de multiplicité.

Exercice 1.12   Soit $P\left( X\right) =\left( X-1\right) ^{3}\left( X+2\right) \left( X+1\right) ^{4}$ et $Q\left( X\right) =X^{3}\left( X-1\right) ^{2}\left( X+1\right) ^{5}.$ Déterminer un PGCD et un PPCM de $P$ et de $Q.$

Exercice 1.13   On admet que si $P$ et $Q$ sont deux polynômes et $R$ le reste de la division de $P$ par $Q,$ alors

$$PGCD\left( P,Q\right) =PGCD\left( Q,R\right)$$

A l'aide de cet algorithme, déterminer le PGCD de

$$X^{7}+X^{6}+X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1$$ et de $$X^{5}+X^{4}+X^{3} +X^{2}+X+1$$