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Définition 1.18
est
irréductible dans
si
n'est pas constant et si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants
et les polynômes
avec
Théorème 1.7 (
de d'Alembert)
Dans
les seuls
polynômes irréductibles sont ceux de degré
Dans
les seuls polynômes irréductibles sont
ceux de degré
et ceux de degré
dont le discriminant est
strictement négatif.
Théorème 1.8
Tout polynôme de
s'écrit de manière
unique sous la forme :
avec
Les
étant des polynômes
irréductibles, unitaires et tous distincts. Les
sont des
entiers non nules et
est un certain entier qui dépend du polynôme.
Définition 1.19
Un polynôme est
scindé si tous ses facteurs irréductibles
sont de degré au plus égaux à
Proposition 1.6
Si
est un polynôme scindé de degré
et si
est
racine d'ordre
alors
On peut en déduire qu'un polynôme de degré a exactement
racines dans
en comptant chaque racine avec son ordre de
multiplicité.
Exercice 1.12
Soit
et
Déterminer un PGCD et un PPCM de
et de
Exercice 1.13
On admet que si
et
sont deux polynômes et
le reste de la
division de
par
alors
A l'aide de cet algorithme, déterminer le PGCD de
et de
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Michel
2002-08-06