Limites

En première, la notion de limite est abordée en s'appuyant sur des expérimentations numériques et graphiques. Les élèves ont à connaître les limites des fonctions de référence ( $x\mapsto x^{2},$ $x\mapsto\frac{1}{x},...$ ). Ils disposent des théorèmes usuels sur les limites ( somme, produit, composition ). En terminale, le cas des formes dites indéterminées est étudié plus pré cisément. La définition des limites à l'aide des quantificateurs est hors programme de terminale. Rappelons la définition d'une limite nulle en zéro :

Définition 2.1   Soit $f$ une fonction définie sur une partie $E$ de $\mathbb{R},$ telle que $E\cup\left\{ 0\right\}$ contienne un intervalle contenant 0 et non réduit à $\left\{ 0\right\}$. On dit que $f$ admet comme limite 0 en 0 si et seulement si :

$$\forall\varepsilon\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}\quad\exists\alpha\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}$$ tel que $$\forall x\in E,\quad\left\vert x\right\vert <\alpha\Rightarrow\left\vert f\left( x\right) \right\vert <\varepsilon$$

On note dans ce cas $\lim_{x\rightarrow0}f\left( x\right) =0$

Par translation, on peut donc ainsi définir les situations $\lim _{x\rightarrow a}f\left( x\right) =0,$ puis $\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =l.$ Si l'on note $E_{a}$ un voisinage de $a,$ cette dernière limite se traduit par :

$$\forall\varepsilon\in\mathbb{R}_{+}^{*}\quad\exists\alpha\in\mathbb{R}_{+} ^{*}$$ tel que $$\forall x\in E_{a},\quad\left\vert x-a\right\vert <\alpha \Rightarrow\left\vert f\left( x\right) -l\right\vert <\varepsilon$$

Définition 2.2   Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $E$ contenant un intervalle $\left] a,+\infty\right[ ,$ avec $a>0.$ On dit que $f\left( x\right)$ admet la limite $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si et seulement si :

$$\forall B\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}\quad\exists A\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}$$ tel que $$\forall x\in E,\quad x>A\Rightarrow f\left( x\right) >B$$

Il est à remarquer que si la fonction $f$ est définie en $a$ et admet en ce point une limite, alors nécessairement cette limite est égale à $f(a).$

On définit les limites à gauche ( respectivement à droite ) de $f$ en $a$ en prenant la restriction de la fonction $f$ à l'intervalle $E\cap\left] -\infty,a\right[$ ( respectivement $E\cap\left] a,+\infty\right[ ).$ On dispose du théorème fondamental suivant :

Théorème 2.1   ( dit des gendarmes ) Si $f,$ $g$ et $h$ sont trois fonctions définies sur $D$ telles que pour tout $x$ de $D,$ on ait $f\left( x\right) \leqslant g\left( x\right) \leqslant h\left( x\right) ,$ et si $f$ et $h$ admettent en $a$ la même limite $l,$ alors $g$ admet une limite en $a$ égale à $l. \index{Th\acute{e}or\grave{e}me!des gendarmes}$

Une autre forme utile de ce théorème est la suivante :

Théorème 2.2   Si $f$ et $g$ sont deux fonctions définies sur $D$ telles que pour tout $x$ de $D,$ on ait $\left\vert f\left( x\right) \right\vert \leqslant g\left( x\right) ,$ et si $g$ a pour limite 0 quand $x$ tend vers $a,$ alors $f$ admet une limite en $a$ égale à $0.$

Exercice 2.1   Etudier la limite éventuelle de $f$ en $+\infty$ lorsque $f$ est définie par :

$$\begin{tabular}[c]{lllll} a) & $f(x)=x^{2}+3x-2$\ & \qquad & c) &... ...c{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}$\ & & d) & $f(x)=\dfrac{2x-1} {\sqrt{x}}$\end{tabular}$$

Exercice 2.2   Etudier la limite éventuelle de $f$ en 0 lorsque $f$ est définie par :

$$\begin{tabular}[c]{lllll} a) & $f(x)=5-\dfrac{1}{\sqrt{x}}$\ & \q... ...\\ b) & $f(x)=-\dfrac{1}{x}$\ & & d) & $f(x)=3-\dfrac{\sin x}{x}$\end{tabular}$$

Exercice 2.3   On considère les fonctions numériques $f$ et $g$ définies respectivement sur $\mathbb{R}-\left\{ -\frac{5} {2}\right\}$ et sur $\mathbb{R}-\left\{ 0\right\}$ par

$$f(x)=\dfrac{x-3}{2x+5}$$   et    $$g(x)=\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}$$

1. Montrer que pour tout $x\neq0$, on a $f(x)=\dfrac {1-\frac{3}{x}}{2+\frac{5}{x}}$ et $g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x}+1}.$

2. En déduire que $f$ admet une limite en $+\infty$ et que $g$ admet une limite en 0 que l'on calculera.

Exercice 2.4   Déterminer les limites éventuelles suivantes :

$$\begin{tabular}[c]{llllllll} a) & $\lim\limits_{x\rightarrow1}\df... ... f) & $\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{2x^{2}-3x+1}{x^{2}-6x+8}$\end{tabular}$$

On rappelle les résultats concernant les croissances comparées des fonctions de référence :

$$\fbox{$\lim_{x\rightarrow+\infty}\;\dfrac{e^{x}}{x^{\alpha}} =+\i... ...$\alpha>0$\ alors $\lim_{x\rightarrow+\infty}$\ $\dfrac{\ln x}{x^{\alpha} }=0$}$$

Exercice 2.5   Calculer les limites suivantes lorsqu'elles existent :

$$\begin{array}[c]{lllllll} \text{a)} & \lim_{x\rightarrow-\in... ...} & \lim_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{xe^{x}}{3^{x}} \end{array}$$