Continuité

La continuité en un point est définie de la manière suivante :

Définition 2.3   Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant le réel $a. \index{Continuit\acute{e}}$

• 
  On dit que $f$ est continue en $a$ si $f$ admet une limite finie en $a.$

• On dit que $f$ est continue sur $I$ si $f$ est continue en tout point $a$ de $I.$

On remarquera que si $f$ est continue en $a,$ alors $\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right) .$

La continuité est très utile pour l'application des théorèmes relatifs à la résolution des équations du type $f\left( x\right) =0.$

Théorème 2.3 (des valeurs intermédiaires)   Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et soient $a$ et $b$ deux éléments de $I.$ La fonction $f$ prend toute valeur comprise entre $f\left( a\right)$ et $f\left( b\right) . \index{Th\acute{e}or\grave{e}me!des valeurs interm\acute{e}diaires}$

Théorème 2.4   Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I,$ alors elle réalise une bijection de $I$ sur $f\left( I\right) .$

Théorème 2.5   Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I.$ Alors $f\left( I\right)$ est un intervalle, et pour tout $m$ de $f\left( I\right) ,$ l'équation $f\left( x\right) =m$ admet une unique solution dans $I.$

Théorème 2.6   Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur $\left[ a,b\right] .$ Si $f\left( a\right)$ et $f\left( b\right)$ sont de signes contraires, alors l'équation $f\left( x\right) =0$ admet une unique solution dans l'intervalle ouvert $\left] a,b\right[ .$

Ce théorème justifie la méthode de dichotomie, qui permet de trouver un encadrement d'une solution d'une équation du type $f\left( x\right) =0. \index{Dichotomie}$

Exercice 2.6   On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f\left( x\right) =\frac{2x^{2}-5x+3}{x-1}$$ si $$x\neq1$$ et $$f\left( 1\right) =0$$

Cette fonction est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ?

Définition 2.4   Si une fonction $f$ a une limite réelle $l$ en un point $a$ où elle n'est pas définie, alors on peut la prolonger par continuité en $a$ en posant f $\left( a\right) =l.$

Exercice 2.7   La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}-\left\{ -2,2\right\}$ par

$$f\left( x\right) =\frac{x^{3}-x-6}{x^{2}-4}$$

est-elle prolongeable par continuité en $2$ ? en $-2$ ?

Exercice 2.8   Démontrer que l'équation

$$1-\frac{x}{2}+\cos x=0$$

admet une unique solution $x_{0}$ dans $\left[ 0,\pi\right]$ dont on donnera une valeur approchée à 10$^{-2}$ près par défaut.

Exercice 2.9   Soit $x$ vérifiant $0<x<\pi.$ Il s'agit de calculer, à $10^{-2}$ près, pour quelle valeur de $x$ les aires des domaines hachurés sont égales dans la figure ci-dessous. (OA=OB=1)

1. Montrer que le problème revient à résoudre sur $\left] 0,\pi\right[$ l'équation $\sin x-\dfrac{x}{2}=0$.

2. Soit $f:x\longmapsto\sin x-\frac{x}{2}.$ En étudiant les variations de $f$, montrer que le problème admet une unique solution $\alpha$, que l'on localisera.

3. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.