Dérivabilité

La notion de dérivée peut être reliée soit aux approximations affines, soit au taux de variation d'une fonction. On rappelle les définitions suivantes :

Définition 2.5   Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_{0}$ un élément de $I.$ Les énoncés suivants sont équivalents :

• Le rapport $\dfrac{f\left( x_{0}+h\right) -f\left( x_{0}\right) }{h}$ admet une limite finie $a$ quand $h$ tend vers $0.$

• Pour tout réel $h$ tel que $x_{0}+h\in I,$ on peut écrire que

  $$f\left( x_{0}+h\right) =f\left( x_{0}\right) +ah+h\varphi\left( h\right) \lim_{h\rightarrow0}\varphi\left( h\right) =0$$ (*)

  
  

Définition 2.6   Lorsque l'une des deux conditions précédentes est réalisée, on dit que la fonction $f$ est dérivable en $x_{0}.$ Dans ce cas, le réel $a$ est noté $f^{\prime}\left( x_{0}\right)$ et s'appelle le nombre dérivé de $f$ en $x_{0}.$ L'écriture (*) est appelée développement limité d'ordre $1$ de $f$ en $x_{0}.$

Théorème 2.7   Une fonction dérivable sur un intervalle $I$ est continue sur cet intervalle.

Attention, la réciproque est fausse. Il suffit par exemple de considérer la fonction $x\mapsto\left\vert x\right\vert ,$ qui est continue sur $\mathbb{R}$ mais non dérivable en $0.$ Les principales formules de dérivation sont données à la page .

Proposition 2.1   Si $f$ est une fonction définie sur $I$ et dérivable en $x_{0}\in I,$ alors sa courbe représentative admet au point d'abscisse $x_{0}$ une tangente d'équation

$$\fbox{$y=f^{\prime}\left( x_0\right) \left( x-x_0\right) +f\left( x_0\right) $}$$

Fonctions	Dérivées	Intervalles
$x^n\quad(n\in \mathbb{Z})$	$nx^{n-1}$	$\mathbb{R}^{*}$
$x^\alpha\quad(\alpha\in \mathbb{R})$	$\alpha x^{\alpha -1}$	$\mathbb{R}_{+}^{*}$
$\dfrac1x$	$-\dfrac1{x^2}$	$\mathbb{R}^{*}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac1{2\sqrt{x}}$	$\mathbb{R}_{+}^{*}$
$\sin x$	$\cos x$	$\mathbb{R}$
$\cos x$	$-\sin x$	$\mathbb{R}$
$\tan x$	$\dfrac1{\cos^2x}=1+\tan^2x$	$\mathbb{R}-\left \{ \dfrac\pi2+k\pi/k\in \mathbb{Z}x\right\}$
$\ln\left\vert x\right\vert$	$\dfrac1x$	$\mathbb{R}^{*}$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$
$Arcsinx$	$\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}$	$\left] -1,1\right[$
$Arccosx$	$\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\left] -1,1\right[$
$Arctanx$	$\dfrac1{1+x^2}$	$\mathbb{R}$
$chx$	$shx$	$\mathbb{R}$
$shx$	$chx$	$\mathbb{R}$
$thx$	$\dfrac1{ch^2x}=1-th^2x$	$\mathbb{R}$
$Argchx$	$\dfrac1{\sqrt{x^2-1}}$	$\left] 1,+\infty\right[$
$Argshx$	$\dfrac1{\sqrt{1+x^2}}$	$\mathbb{R}$
$Argthx$	$\dfrac1{1-x^2}$	$\left] -1,1\right[$

Fonction	Dérivée	Fonction	Dérivée	Fonction	Dérivée
$f.g$	$f^{\prime}g+g^{\prime}f$	$f^n$	$nf^{\prime}f^{n-1}$	$\dfrac fg$	$\dfrac{f^{\prime}g-g^{\prime}f}{g^2}$
$g\circ f$	$f^{\prime}\times(g^{\prime}\circ f)$	$\sqrt{f}$	$\dfrac {f^{\prime}}{2\sqrt{f}}$	$\ln\left\vert f\right\vert$	$\dfrac{f^{\prime}}f$

Les notions de nombre dérivé à droite et de nombre dérivé à gauche se définissent en introduisant les limites à droite et à gauche du taux d'accroissement de $f$ en $x_{0}.$ Sous réserve d'existence de la limite, on pose :

$$f_{d}^{\prime}\left( x_{0}\right) =\lim_{\substack{x\rightarrow x_{0} \\ x>x_{0} }}\frac{f\left( x\right) -f\left( x_{0}\right) }{x-x_{0}}$$

Exercice 2.10   Déterminer le domaine de dérivabilité de chacune des fonctions suivantes, puis calculer l'expression de leur dérivée.

$$\begin{array}[c]{lllll} \text{a)} & f_{1}\left( x\right) =\d... ...2\cos^{2}\left( \dfrac{\pi}{6}-\dfrac {x}{4}\right) \end{array}$$

Exercice 2.11   Etudier et représenter graphiquement la fonction $f$ définie par

$$f\left( x\right) =\left( 1-x\right) \sqrt{1-x^{2}}$$

On précisera notamment la dérivabilité de $f$ en $-1$ et en $1.$

Exercice 2.12   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left( x\right) =1+3x+x\sin x.$ Déterminer sans calcul la valeur de $f^{\prime}\left( 0\right) .$