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Branches infinies

Dans le plan rapporté à un repère $\left( O;\overrightarrow {i},\overrightarrow{j}\right) ,$ on désigne par la courbe représentative d'une fonction

Si est telle que $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left( x\right) =\infty,$ alors la courbe représentative de admet une asymptote verticale d'équation $x=x_{0}. \index{Asymptote!verticale}$
Si est telle que $\lim_{x\rightarrow\infty}f\left( x\right) =b,$ alors la courbe représentative de admet une asymptote horizontale d'équation $y=l. \index{Asymptote!horizontale}$
S'il existe et réels tels que $\lim_{x\rightarrow\infty }\left[ f\left( x\right) -\left( ax+b\right) \right] =0,$ alors la droite d'équation est asymptote oblique à Il existe deux méthodes pratiques de recherche d'une asymptote oblique :
Si $f\left( x\right)$ peut s'écrire sous la forme $f\left( x\right) =ax+b+\varepsilon\left( x\right) ,$ avec $\lim_{x\rightarrow\infty}\varepsilon\left( x\right) =0,$ alors on obtient directement l'équation de cette asymptote.
Si $\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f\left( x\right) }{x}=a$ et si $\lim_{x\rightarrow\infty }\left[ f\left( x\right) -ax\right] =b,$ alors C admet une asymptote oblique d'équation
Etudions le cas d'une fonction définie sur un intervalle non majoré. La courbe admet une branche infinie. Si est le point d'abscisse de alors le rapport $\frac{f\left( x\right) }{x}$ est égal au coefficient directeur de la droite $\left( OM\right) .$ Il s'ensuit que l'on a les propriétés suivantes, que admette ou non une asymptote oblique :

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f\left( x\right) }{x}=a\Longleftrightarrow$

La droite $\left( OM\right)$ a pour position limite la droite d'équation quand tend vers $\infty.$

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f\left( x\right) }{x}=\infty \Longleftrightarrow$

La droite $\left( OM\right)$ a pour position limite l'axe des ordonnées quand tend vers $\infty.$

On est donc conduit à la définition suivante :
La direction de la droite $\Delta$ passant par est dite direction asymptotique de si $\Delta$ est la position limite de la droite $\left( OM\right)$ quand le point décrit une branche infinie de $C. \index{Direction!asymptotique}\medskip$

$\displaystyle \fbox{$\lim_x\rightarrow\infty\frac{f\left( x\right) }{x} =a\Long... ...ction asymptotique celle de la\\ droite d'\'{e}quation $y=ax.$\end{tabular}}$}$

$\displaystyle \fbox{$\lim_x\rightarrow\infty\frac{f\left( x\right) }{x}=\infty ... ...trightarrow C\text{ a pour direction asymptotique celle de }\left( Oy\right) $}$

Il en résulte que lorsque admet une asymptote oblique $\Delta,$ alors la direction de toute parallèle à $\Delta$ est direction asymptotique de
Si $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f\left( x\right) }{x}=\infty$ , alors on dit que la branche infinie de est une branche parabolique.
Si $\lim_{x\rightarrow\infty}f\left( x\right) =\infty$ et $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f\left( x\right) }{x}=0,$ alors admet une branche infinie, et la direction de $\left( Ox\right)$ est la direction asymptotique. Une telle branche s'appelle aussi une branche parabolique.
Si $\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f\left( x\right) }{x}=a$ et $\lim_{x\rightarrow\infty}\left[ f\left( x\right) -ax\right] =\infty,$ alors admet une branche infinie dont la direction asymptotique est celle de la droite d'équation Une telle branche s'appelle aussi une branche parabolique.