Exercices

Exercice 2.15   Soit $\varphi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$$\varphi\left( x\right) =\frac{x^{2}+ax+b}{x^{2}-2x+2}$$

Calculer les réels $a$ et $b$ pour que la courbe représentative de $f$ passe par le point $A$ de coordonnées $\left( 2,0\right)$ et admette au point d'abscisse $1$ une tangente parallèle à la droite d'équation $y=-2x.$

Exercice 2.16   Soit $n\in\mathbb{N}^{\ast},$$u$ et $v$ deux fonctions $n$ fois dérivables sur une partie $E$ de $\mathbb{R}.$ Montrer que le produite $uv$ est $n$ fois dérivable et que :

$$\left( uv\right) ^{\left( n\right) }=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}u^{\left( k\right) }v^{\left( n-k\right) }$$

en convenant que $u^{\left( 0\right) }=u$ et $v^{\left( 0\right) }=v.$ Cette formule porte le nom de Formule de Leibnitz.

Exercice 2.17   Démontrer que la dérivée $n$-ième de la fonction sinus est définie sur $\mathbb{R}$ par

$$x\longmapsto\sin\left( x+n\frac{\pi}{2}\right)$$

Exercice 2.18   On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$f\left( x\right) =x\left( 1+x\right) ^{n}$$

$n$ étant un entier naturel supérieur ou égal à 1.

1. Exprimer $f$ comme somme de fonctions monômes à l'aide de la formule du binôme.

2. Calculer $f^{\prime}$ sous les deux formes précédentes.

3. Déduire des deux expressions de $f^{\prime}\left( 1\right)$ l'égalité :
   $$1+2C_{n}^{1}+3C_{n}^{2}+\cdots+\left( n+1\right) C_{n}^{n}=2^{n-1}\left( n+2\right)$$

Exercice 2.19   On se propose dans cet exercice de mettre en oeuvre une méthode permettant d'obtenir une valeur approchée de la solution de l'équation

$$\emph{x}^{3}\emph{+x-1=0}$$

1. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^{3}+x-1.$
   1. Etudier les variations de la fonction $f$, puis dresser son tableau de variations.

   2. On appelle $C$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal $\left( \text{O;}\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right) .$ Tracer la courbe $C$.

2. Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet sur $\mathbb{R}$ une unique solution $\alpha.$ Montrer que $\frac{1}{2}<\alpha<1,$ puis établir que $\alpha$ vérifie la relation :

   $$1-\alpha=\alpha^{3}$$ (1)

   
   

3. On considère un point $A$ de $C$ d'abscisse $a.$ La tangente en $A$ à $C$ coupe l'axe des abscisses en un point $B$ d'abscisse $b.$
   1. Montrer que
      $$b=\frac{2a^{3}+1}{3a^{2}+1}$$

   2. Soit $M_{1}$ le point de $C$ d'abscisse $x_{1}=1.$ La tangente à $C$ en $M_{1}$ coupe l'axe des abscisses en un point d'abscisse $x_{2}.$ La tangente au point de $C$ d'abscisse $x_{2}$ coupe l'axe des abscisses en un point d'abscisse $x_{3}.$ En itérant ce procédé, on construit une suite $\left( x_{n}\right)$ de nombres réels. Calculer les valeurs de $x_{1},$$x_{2}$ et $x_{3}.$

   3. On suppose que l'on a construit le point d'abscisse $x_{n} .$ Démontrer alors que
      $$x_{n+1}=\frac{2x_{n}^{3}+1}{3x_{n}^{2}+1}$$pour tout entier $$n$$

4. Dans cette question, on se propose de démontrer que la suite $\left( x_{n}\right)$ est convergente.
   Soit $\phi$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $\phi\left( x\right) =2x^{3}-3\alpha x^{2}+1-\alpha.$
   1. Montrer en utilisant la relation (1) que $\phi\left( \alpha\right) =0.$

   2. Montrer que la fonction $\phi$ est strictement croissante sur $\left[ \alpha,+\infty\right[ .$

   3. Démontrer que pour tout entier $n$ non-nul
      $$x_{n+1}-\alpha=\frac{\phi\left( x_{n}\right) }{3x_{n}^{2}+1}$$

   4. A l'aide d'un raisonnement par récurrence, démontrer que pour tout $n$ dans $\mathbb{N}^{\ast}$, $x_{n}>\alpha.$

   5. Calculer, pour tout $n$ de $\mathbb{N}^{\ast}$, $\left( x_{n}-x_{n+1}\right)$ en fonction de $x_{n}$, et en déduire que $x_{n+1}<x_{n}.$

   6. Démontrer que la suite $\left( x_{n}\right)$ est convergente vers $\alpha.$

5. A l'aide d'une calculatrice, calculer des valeurs approchées de $x_{1}$, $x_{2}$, $\cdots x_{10}.$

Exercice 2.20   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{\ast }$ par :

$$f\left( x\right) =\left( 2x+a\right) 2^{-\frac{1}{x}}$$

où $a$ est un réel donné.

1. Déterminer la valeur de $a$ sachant que $f\left( \frac{1}{2}%% \right) =2^{-2}.$
   On suppose dans toute la suite de cet exercice que $a$ prend cette valeur.

2. Calculer la valeur exacte de $\sqrt[3]{f\left( 2\right) }.$

3. Démontrer que pour tout $x$ non nul, on a :

   $$x^{2}f^{\prime }\left( x\right) -\left( \ln 2\right) f(x)=x^{2}2^{\frac{x-1}{<tex2html_comment_mark>126 x}}$$

   
   

4. Déterminer la limite de $f\left( x\right)$ quand $x$ tend vers $%% +\infty ,$ $-\infty .$

5. Déterminer la limite de $f\left( x\right)$ quand $x$ tend vers $%% 0$ par valeurs supérieures.

6. Déterminer la limite de $f\left( x\right)$ quand $x$ tend vers $%% 0$ par valeurs inférieures. On pourra utiliser le changement de variable défini par $x=-\frac{\ln 2}{X}$.

7. Etudier le sens de variation de la fonction $f,$ puis dresser son tableau de variations.

8. Tracer la courbe représentative $C$ de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) .$

9. Résoudre dans $\mathbb{R}^{\ast }$ l'équation

   $$f^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)$$

   
   
   La fonction $f$ est-elle une solution de l'équation différentielle $%% y^{\prime }-y=0$ ?