Fonction Arcsinus

Définition 3.1   L'application sinus induit une bijection strictement croissante de $\left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ sur $\left[ -1,1\right] .$ Son application réciproque est appelée fonction arc sinus et se note $\arcsin.$ On a donc :

$$\fbox{$y=\arcsin x\Longleftrightarrow x=\sin y$\ et\ $-\dfrac{\pi}{2}\leqslant y\leqslant\dfrac{\pi}{2}$}$$

L'application $\arcsin$ est donc une bijection strictement croissante de $\left[ -1,1\right]$ sur $\left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] .$ D'après les théorèmes sur les fonctions réciproques, la fonction $\arcsin$ est continue sur $\left[ -1,1\right]$ et dérivable sur $\left] -1,1\right[ .$

Comme $-\frac{\pi}{2}\leqslant\arcsin x\leqslant\frac{\pi}{2},$ on a $\cos\left( \arcsin x\right) \geqslant0$ et $\sin\left( \arcsin x\right) =x.$

La relation $\cos^{2}\left( \arcsin x\right) +\sin^{2}\left( \arcsin x\right) =1$ fournit donc $\cos\left( \arcsin x\right) =\sqrt{1-x^{2}}.$ Il en résulte que pour $x\in\left] -1,1\right[ ,$ on a

$$\left( \arcsin x\right) ^{\prime}=\frac{1}{\cos\left( \arcsin x\right) }=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$$

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction $\arcsin$ est symétrique de celle de la fonction $\sin$ par rapport à la première bissectrice.