Le theorème des accroissements finis

Théorème 4.1   Soit $f$ une fonction continue sur $\left[ a,b\right]$ et dérivable sur $\left] a,b\right[ .$ Il existe un réel $c$ élément de $\left] a,b\right[$ tel que

$$f\left( b\right) -f\left( a\right) =\left( b-a\right) f^{\prime}\left( c\right)$$

Démonstration : On considère la fonction affine $g$ qui coïncide avec la fonction $f$ aux points $a$ et $b$ :

$$g\left( x\right) =\frac{f\left( b\right) -f\left( a\right) }{b-a}\left( x-a\right) +f\left( a\right)$$

Il suffit maintenant d'appliquer le théorème de Rolle à la fonction $\varphi=f-g.$

Théorème 4.2   ( de Rolle ) Soit $f$ une fonction continue sur le segment $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$ et telle que $f(a)=f(b)$. Il existe alors un réel $c$ de $]a,b[$ tel que $f'(c)=0$

On a :

• $\varphi\left( a\right) =\varphi\left( b\right) =0$

• $\varphi$ est continue sur $\left[ a,b\right]$ et dérivable sur $\left] a,b\right[ .$

• Il existe donc un réel $c$ de $\left] a,b\right[$ tel que $\varphi^{\prime}\left( c\right) =0\Leftrightarrow f^{\prime}\left( c\right) =g^{\prime}\left( c\right) =\frac{f\left( b\right) -f\left( a\right) }{b-a}.$

En utilisant le théorème des accroissements finis, on prouve les deux théorèmes suivants :

Théorème 4.3   Si $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ telle que $f^{\prime}$ soit positive sur $I,$ alors $f$ est une fonction croissante sur $I.$

Théorème 4.4   ( Inégalité des accroissements finis ) Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ telle qu'il existe deux réels $m$ et $M$ vérifiant :

$$\forall x\in I\quad m\leqslant f^{\prime}\left( x\right) \leqslant M$$

Alors, pour tout $a$ et $b$ de $I$ tels que $a\leqslant b,$ on a

$$m\left( b-a\right) \leqslant f\left( b\right) -f\left( a\right) \leqslant M\left( b-a\right)$$

Théorème 4.5   Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ telle qu'il existe un réel $M$ vérifiant :

$$\forall x\in I\quad\left\vert f^{\prime}\left( x\right) \right\vert \leqslant M$$

Alors, pour tout $a$ et $b$ de $I,$ on a

$$\left\vert f\left( b\right) -f\left( a\right) \right\vert \leqslant M\left\vert b-a\right\vert$$

Le théorème des accroissements finis permet d'effectuer le prolongement de fonctions dérivables selon la propriété :

Proposition 4.1   Soit $f$ une fonction continue sur $\left[ a,b\right]$ et dérivable sur $\left] a,b\right[ .$ Si $f^{\prime}$ admet en $a$ une limite finie égale à $l,$ alors $f$ est dérivable en $a,$ et $f^{\prime}\left( a\right) =l$

Proposition 4.2   Soit $f$ une fonction continue sur $\left[ a,b\right]$ et dérivable sur $\left] a,b\right[ .$ Si $f^{\prime}$ admet en $a$ une limite finie égale à $\pm\infty,$ alors $f$ n'est pas dérivable en $a.$ Par contre, la courbe représentative de $f$ admet au point d'abscisse $a$ une demi-tangente verticale.

Démonstration : On introduit la fonction $\psi:\left[ a,b\right] \rightarrow\mathbb{R}$ définie par $\psi\left( x\right) =f\left( x\right) -lx.$ Cette fonction est continue sur $\left[ a,b\right]$ et dérivable sur $\left] a,b\right[ .$ On applique le théorème des accroissements finis à la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[ a,x\right] ,$ pour tout $x$ de $\left] a,b\right[ .$ Il existe donc un réel $c\in\left] a,x\right[$ tel que

$$\psi\left( x\right) -\psi\left( a\right) =\left( f^{\prime}\left( c\right) -l\right) \left( x-a\right)$$    pour tout $$x$$ de $$\left] a,b\right[ ,$$ soit 

$$\frac{f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a}-l=f^{\prime}\left( c\right) -l$$

Or, comme $a<c<x$ et que $\lim_{x\rightarrow a}f^{\prime}\left( x\right) =l,$ on a donc $\lim_{x\rightarrow a}f^{\prime}\left( c\right) =l,$ d'où

$$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left( x\right) -f\left( a\right) }{x-a}=l$$

Exercice 4.1   Soit $f$ la fonction définie sur $\left] -\pi,\pi\right[ -\left\{ 0\right\}$ par

$$f\left( x\right) =\frac{x}{\sin x}$$

Montrer que la fonction $f$ se prolonge par continuité sur $\left] -\pi,\pi\right[ ,$ et que la fonction obtenue est de plus dérivable sur $\left] -\pi,\pi\right[ .$ On rappelle les égalités :

$$\sin x =x-\frac{x^{3}}{6}+x^{3}\varepsilon\left( x\right) \lim_{x\rightarrow0}\varepsilon\left( x\right) =0$$

$$\cos x =1-\frac{x^{2}}{2}+x^{3}\varphi\left( x\right) \lim_{x\rightarrow0}\varphi\left( x\right) =0$$

Exercice 4.2   En utilisant le théorème des accroissements finis, démontrer que pour tout $x$ de $\mathbb{R} _{+},$ on a

$$\sin x\leqslant x$$

Exercice 4.3   On définit la suite $\left( S_{n}\right) _{n\geqslant1}$ par

$$S_{n}=\sum_{p=n+1}^{2n}\frac{1}{p}$$

1. 
   Etablir l'encadrement suivant :
   $$\forall x\in\mathbb{R}_{+}^{*}\quad\frac{1}{x+1}\leqslant \ln\left( x+1\right) -\ln x\leqslant \frac{1}{x}$$

2. En déduire la limite de la suite $\left( S_{n}\right) .$

Définition 4.1   Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est dite lipschitzienne de rapport $k$ si pour tout $x$ et $y$ de $I,$ on a :

$$\left\vert f\left( x\right) -f\left( y\right) \right\vert \leqslant k\left\vert x-y\right\vert$$

Exercice 4.4   Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ une application dérivable, à dérivée bornée sur $I.$ Montrer que $f$ est lipschitzienne.

Exercice 4.5   Montrer que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g\left( x\right) =\ln\left( e^{x}+1\right)$ est lipschitzienne de rapport $1$ sur $\mathbb{R}.$