Développements limités

Si $f$ est une fonction définie au voisinage de $0,$ chercher un développement limité d'ordre $n$ de $f$ en 0 consiste à trouver, s'il existe, un polynôme de degré $n$ dont la courbe repré sentative va être une '' bonne '' approximation de la courbe représentative de $f.$ Par exemple, on considère la fonction $f$ $:x\mapsto\frac{1}{1-x},$ dont la courbe est appelée C, et les fonctions

$$f_{1}:x\mapsto1+x\qquad f_{2}:x\mapsto1+x+x^{2}\qquad f_{3}:x\mapsto 1+x+x^{2}+x^{3}$$

dont les courbes représentatives sont notées C1, C2 et C3. On remarque graphiquement que C3 est une meilleure approximation de la courbe C que ne le sont C1 et C2.

Définition 4.2  
Soit $f$ une fonction définie sur un voisinage de $0,$ et $n$ un entier naturel. On dit que $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ au voisinage de $0,$ s'il existe un polynôme $P_{n}$ de degré inférieur ou égal à $n$ tel que :

$$f\left( x\right) =P_{n}\left( x\right) +x^{n}\varepsilon\left( x\right)$$    avec $$\lim_{x\rightarrow0}\;\varepsilon\left( x\right) =0$$

Dans ce cas, on utilise la notation : $f\left( x\right) =P_{n}\left( x\right) +o\left( x^{n}\right) .$

Définition 4.3   Dans ce cas, l'égalité $f\left( x\right) =P_{n}\left( x\right) +o\left( x^{n}\right)$ s'appelle le développement limité de $f$ en 0 à l'ordre $n.$

Proposition 4.3   Si une fonction admet un développement limité à l'ordre $n,$ alors ce développement est unique.

Proposition 4.4   Si $f$ est une fonction paire admettant un développement limité en $0$ à l'ordre $n$, alors les coefficients d'ordre impair de son développement limité sont nuls.

Proposition 4.5   Si $f$ est une fonction impaire admettant un développement limité en 0 à l'ordre $n$, alors les coefficients d'ordre pair de son développement limité sont nuls.

Définition 4.4   Si une fonction admet un développement limité en 0 à l'ordre $n$ qui s'écrit

$$f\left( x\right) =P_{n}\left( x\right) +o\left( x^{n}\right)$$

alors $P_{n}\left( x\right)$ s'appelle la partie ré gulière ou polynomiale du développement, et $o\left( x^{n}\right)$ est le reste ou la partie complémentaire de ce développement.

Exercice 4.6   On se propose dans cet exercice de déterminer le développement limité à l'ordre $n$ en 0 de la fonction $f:x\mapsto\frac{1}{1-x}.$

1. Etablir pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ l'égalité :
   $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+\frac{x^{n+1}}{1-x}$$

2. En déduire le développement limité cherché.