Génération de développements limités

Les théorèmes suivants permettent d'effectuer des opérations sur les développements limités . On suppose que $f$ et $g$ sont deux fonctions qui admettent chacune un développement limité à l'ordre $n,$ de parties régulières respectives $P_{n}$ et $Q_{n}.$

Proposition 4.6   La fonction $f+g$ admet un développement limité à l'ordre $n$, de partie régulière $P_{n}+Q_{n}.$

Proposition 4.7   Pour tout réel $\lambda,$ la fonction $\lambda f$ admet un dé veloppement limité à l'ordre $n,$ de partie régulière $\lambda P_{n}.$

Proposition 4.8   La fonction $fg$ admet un développement limité à l'ordre $n,$ dont la partie régulière est la restriction d'ordre $n$ du polynôme $P_{n}\times Q_{n}.$

Proposition 4.9   Soit $f$ une fonction admettant un développement limité à l'ordre $n$ au voisinage de 0 :

$$f\left( x\right) =a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}+o\left( x^{n}\right)$$

Si $F$ désigne une primitive de $f$ sur un voisinage de $0,$ alors la fonction $F$ admet un développement limité à l'ordre $n+1$ et on a :

$$\fbox{$F\left( x\right) =F\left( 0\right) +a_0x+a_1\dfrac{x^{2}} {2}+a_2\dfrac{x^{3}}{3}+\cdots+a_n\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+o\left( x^{n+1} \right) $}$$

Proposition 4.10   Si on suppose que de plus $f\left( 0\right) =0,$ alors la fonction $g\circ f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ et on a

$$\left( g\circ f\right) \left( x\right) =R_{n}\left( x\right) +o\left( x^{n}\right)$$

où $R_{n}$ est le polynôme de degré inférieur ou égal à $n$ défini par $Q_{n}\left( P_{n}\left( x\right) \right) =R_{n}\left( x\right) +x^{n+1}S\left( x\right)$

Exercice 4.7   Déterminer les développements limités à l'ordre $6$ au voisinage de 0 des fonctions :

$$x\mapsto\frac{1}{1+x}\qquad x\mapsto\frac{1}{1-x^{2}}\qquad x\mapsto\frac {1}{1+x}+\frac{1}{1-x^{2}}$$

Exercice 4.8   Déterminer les développements limités de $\ln\left( 1-x\right)$ et de $\ln\left( 1+x\right)$ à l'ordre $n$ au voisinage de $0.$

Exercice 4.9   Déterminer le développement limité de $\left[ \ln\left( 1-x\right) \ln\left( 1+x\right) \right]$ à l'ordre 4 au voisinage de $0.$