La formule de Taylor-Young

Théorème 4.6   Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{n}$ ( c'est à dire dérivable $n$ fois et dont la dérivée n-ième est continue ) sur un intervalle de la forme $\left] -\alpha,\alpha\right[ ,$ avec $\alpha\in\mathbb{R}_{+}^{*}.$ Alors $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ au voisinage de 0 qui est donné par la formule suivante, appelée de Taylor-Young :

$$\fbox{$f\left( x\right) =f\left( 0\right) +\dfrac{f^{\prime}\left... ...dfrac{f^{\left( n\right) }\left( 0\right) }{n!} \,x^{n}+o\left( x^{n}\right) $}$$

A l'aide de cette formule, on peut établir les développements limités des fonctions usuelles, qui sont donnés par :

$$\fbox{$e^{x}=1+x+\dfrac{x^{2}}{2!}+\cdots+\dfrac{x^{n}}{n!}+o\left( x^{n}\right) $}$$

$$\fbox{$\cos x\allowbreak=1-\dfrac{x^{2}}{2!}+\dfrac{x^{4}}{4!}+\c... ...ft( -1\right) ^{n}\dfrac{x^{2n}}{\left( 2n\right) !}+o\left( x^{2n+1}\right) $}$$

$$\fbox{$\sin x=x-\dfrac{x^{3}}{3!}+\dfrac{x^{5}}{5!}+\cdots+\left( -1\right) ^{n}\dfrac{x^{2n+1}}{\left( 2n+1\right) !}+o\left( x^{2n+2}\right) $}$$

$$\fbox{$\left( 1+x\right) ^{\alpha}=1+\alpha x+\dfrac{\alpha\left(... ...ha-1\right) \ldots\left( \alpha-n+1\right) }{n!}\,x^{n}+o\left( x^{n}\right) $}$$

$$\fbox{$\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n}+o\left( x^{n}\right) $}$$

$$\fbox{$\sqrt{1+x}=1+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^{2}}{8}+\dfrac{x^{3}}{16}+o\left( x^{3}\right) $}$$

$$\fbox{$\ln\left( 1+x\right) =x-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3} +\cdots+\left( -1\right) ^{n-1}\dfrac{x^{n}}{n}+o\left( x^{n}\right) $}$$

$$\fbox{$\tan x=x+\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{2}{15}x^{5}+\dfrac{17}{235} x^{7}+o\left( x^{7}\right) $}$$

Exercice 4.10   Déterminer les développements limités à l'ordre $n$ au voisinage de 0 des fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique.

Exercice 4.11   Déterminer le développement limité à l'ordre $n$ au voisinage de 0 de la fonction $\arctan.$

Exercice 4.12   Déterminer le développement limité à l'ordre $4$ au voisinage de 0 de

$$\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$$

Exercice 4.13   Déterminer le développement limité à l'ordre $5$ au voisinage de 0 de

$$\left( \sin x\right) \ln\left( \frac{1+x}{1-x}\right)$$

Exercice 4.14   Déterminer le développement limité à l'ordre $6$ au voisinage de 0 de $\dfrac{x^{2}}{1+x}.$ En déduire celui de $\ln\left( 1+\dfrac{x^{2}}{1+x}\right) ,$ toujours à l'ordre $6$ et au voisinage de $0.$