Définitions

Définition 1.1   On désigne par $\mathbb{K}$ l'ensemble $\mathbb{R}$ ou l'ensemble $\mathbb{C}.$ Un polynôme à coefficients dans $\mathbb{K}$ est une suite d'éléments de $\mathbb{K}$ tous nuls à partir d'un certain rang. C'est donc une suite $\left( a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},0,0,\ldots\right) . \index{Polyn\^{o}me}$

Définition 1.2   Le polynôme $\left( 0,1,0,0,\ldots\right)$ se note $X.$

Définition 1.3   L'ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ se note $\mathbb{K}\left[ X\right] .$

Définition 1.4   L'ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ de degré inférieur ou égal à $n$ ( $n$ entier positif strictement ) se note $\mathbb{K}_{n}\left[ X\right] .$

Définition 1.5   On désigne par $\mathbb{K}_{n}\left[ X\right]$ l'ensemble des polynômes de $\mathbb{K}\left[ X\right]$ dont le degré est inférieur ou égal à $n.$

Proposition 1.1   $\left( \mathbb{K}\left[ X\right] ,+,\;.\;\right)$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{K}.$ ( Le point désigne la multiplication par un élément de $K$ )

Proposition 1.2   Tout élément de $\mathbb{K}\left[ X\right]$ s'écrit de manière unique sous la forme

$$\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_{1}X+a_{0}$$

Définition 1.6   On appelle degré d'un polynôme l'indice du dernier coefficient non nul dans la suite des coefficients.

On a pour tout $P$ et $Q$ éléments de $\mathbb{K}\left[ X\right]$ :

$$\deg\left( P+Q\right) \leqslant Sup\left\{ \deg\left( P\right) ,\deg\left( Q\right) \right\}$$   et    $$\deg\left( PQ\right) =\deg\left( P\right) +\deg\left( Q\right)$$

Définition 1.7   Le polynôme $P=\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}$ est dit unitaire si $a_{n}=1. \index{Polyn\^{o}me!unitaire}$

Définition 1.8   Si $P=$ $\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k}$ désigne un élément de $\mathbb{K}\left[ X\right] ,$ alors le polynôme dérivé de $P,$ noté $P^{\prime},$ est par définition égal à $P^{\prime}=\sum_{k=1}^{n}ka_{k}X^{k-1}. \index{Polyn\^{o}me!derive}$