Fonction polynôme

Définition 1.9   Si $P$ est un polynôme de $\mathbb{K}\left[ X\right]$ qui s'écrit $\sum_{k=0}^{n}a_{k}X^{k},$ on lui associe la fonction de $\mathbb{K}$ dans $\mathbb{K}$ définie par $P\left( x\right) =\sum_{k=0}^{n}a_{k}x^{k}.$

Proposition 1.3   Si $P$ est un polynôme de $\mathbb{K}\left[ X\right]$ et si $a$ est un élément de $\mathbb{K},$ alors il existe un polynôme $Q$ tel que

$$P\left( X\right) =\left( X-a\right) Q\left( X\right) +P\left( a\right)$$

où $P\left( a\right)$ est le polynôme constant égal à $P\left( a\right) .$

Exercice 1.1   Les fonctions suivantes sont-elles des fonctions polynômes ?

$$f:x\mapsto\frac{x^{8}-16}{x^{4}+4}\qquad g:x\mapsto\left( 2+\sqrt{1+x^{2} }\right) ^{2}+\left( 2-\sqrt{1+x^{2}}\right) ^{2}$$

Exercice 1.2   Déterminer les réels $a,$ $b$ et $c$ sachant que les polynômes

$$P=a\left( X+1\right) ^{2}+b\left( X+1\right) +c$$ et $$Q=2X^{2}+5X+3$$

sont égaux.

Exercice 1.3   Etant donné les polynômes

$$P=3X^{2}+2X-3$$ et $$Q=-2X^{3}-5X^{2}+X-7$$

déterminer les polynômes $PQ,$ $P^{2}$ et $Q^{2}.$

Exercice 1.4   Soit $a$ un réel donné. Montrer que

$$X\left( X+a\right) \left( X+2a\right) \left( X+3a\right) +a^{4}$$

est le carré d'un polynôme unitaire que l'on déterminera.