Racines d'un polynôme

Définition 1.10   L'élément $a$ de $\mathbb{K}$ est appelé racine du polynôme $P$ si la fonction polynôme associée à $P$ s'annule en $a.$

Théorème 1.1   $a$ est racine de $P$ si et seulement si $\left( X-a\right)$ divise $P.$

Définition 1.11   L'élément $a$ de $\mathbb{K}$ est appelé racine multiple d'ordre au moins égal à $k$ du polynôme $P$ si $\left( X-a\right) ^{k}$ divise $P,$ avec $k\geqslant1.$

Théorème 1.2   $a$ racine d'ordre au moins égal à $k$ de $P$ si et seulement si

$$P\left( a\right) =P^{\prime}\left( a\right) =\cdots=P^{\left( k-1\right) }\left( a\right) =0$$

Définition 1.12   L'élément $a$ de $\mathbb{K}$ est appelé racine multiple d'ordre égal à $k$ du polynôme $P$ si $\left( X-a\right) ^{k}$ divise $P$ et $\left( X-a\right) ^{k+1}$ ne divise pas $P,$ avec $k\geqslant1.$

Théorème 1.3   $a$ racine d'ordre égal à $k$ de $P$ si et seulement si

$$P\left( a\right) =P^{\prime}\left( a\right) =\cdots=P^{\left( k-1\right) }\left( a\right) =0\text{ et }P^{\left( k\right) }\left( a\right) \neq0$$

Théorème 1.4   Si $P$ est un polynôme à coefficients dans $\mathbb{K}$ de degré inférieur ou égal à $n$ et si $P$ a $\left( n+1\right)$ racines distinctes, alors $P$ est le polynôme nul.

Proposition 1.4   Si $\alpha_{1},$ $\alpha_{2},\ldots,\alpha_{p}$ sont des racines distinctes du polynôme $P,$ alors il existe un polynôme $Q$ tel que :

$$P=\left( X-\alpha_{1}\right) \left( X-\alpha_{2}\right) \cdots\left( X-\alpha_{p}\right) Q$$

Exercice 1.5   Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que le polynôme

$$P=-X^{5}+2X^{4}-3X^{3}+4X^{2}+aX+b$$

admette $2$ et $-3$ comme racines.

Exercice 1.6   Montrer que les racines éventuelles de $P\left( X\right) =X^{7} +8X^{5}+6X^{2}+8$ sont négatives.

Exercice 1.7   Montrer que le polynôme

$$P\left( x\right) =-x\left( 2x-1\right) +\left( x-\frac{1}{2}\right) ^{2}$$

est factorisable par $\left( x-\frac{1}{2}\right) \left( x+\frac{1} {2}\right) .$

Exercice 1.8   Montrer qu'un polynôme $P$ est factorisable par $\left( x-1\right)$ si et seulement si la somme de ses coefficients est nulle.
Application : Parmi les polynômes suivants, préciser ceux qui sont factorisables par $\left( x-1\right)$ et déterminer alors le polynôme $Q$ tel que P $\left( x\right) =\left( x-1\right) Q\left( x\right) .$

$$\begin{array}[c]{ccl} \text{a)} & & P\left( x\right) =8x^{5}... ...{c)} & \quad & P\left( x\right) =7x^{3}-5x^{2}+3x-4 \end{array}$$

Exercice 1.9   Démontrer que $1$ est racine multiple d'ordre $3$ du polynôme $P$ défini par :

$$P\left( X\right) =-2X^{4}+10X^{3}-18X^{2}+14X-4$$