next up previous contents
suivant: Position relative de deux monter: Utilisation de développements limités précédent: Utilisation de développements limités   Table des matières

Calcul des limites

Déterminons par exemple

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\;\frac{1}{\ln\left( 1+x\right) }-\frac{1}{x}
$

On effectue un développement limité au voisinage de 0 à l'ordre $ 2$ de $ \frac{1}{\ln\left( 1+x\right) }.$ Il vient :

$\displaystyle \ln\left( 1+x\right) =x-\frac{1}{2}x^{2}+o\left( x^{2}\right)
\Ri...
...t( x\right) \right) }=\frac{1}{x}\left( 1+\frac{x}{2}+o\left(
x\right) \right)
$

On en déduit l'égalité $ \frac{1}{\ln\left( 1+x\right) }-\frac
{1}{x}=\frac{1}{2}+o\left( 1\right) ,$ ce qui prouve que la limite cherchée est égale à $ \frac{1}{2}.$

Exercice 4.15   Déterminer la limite suivante :

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow0}\,\frac{\ln\left( \cos x\right) }{1-\cos2x}
$



Michel 2002-08-06