Division selon les puissances croissantes

Théorème 4.7   Soient $A$ et $B$ deux polynômes à coeffficients réels tels que $B\left( 0\right) \neq0,$ et $n$ un entier. Il existe un couple unique de polynômes $\left( Q_{n},R_{n}\right)$ tels que

$$A\left( x\right) =B\left( x\right) Q_{n}\left( x\right) +x^{n+1} R_{n}\left( x\right)$$    avec $$\deg\left( Q_{n}\right) \leqslant n$$

Pratiquement, effectuons la division selon les puissances croissantes du polynôme $2-x+x^{3}$ par le polynôme $1+x+x^{2}.\medskip$

$$\begin{tabular}[c]{ccccccc\vert ccccc} $2$\ & $-x$\ & & $+x^{3}$\... ...& & & & & \\ \cline{5-7} & & & & & $x^{5}$\ & $4x^{6}$\ & & & & & \end{tabular}$$

On obtient alors les égalités :

$$2-x+x^{3} =\left( 1+x+x^{2}\right) \left( 2-3x+x^{2}+3x^{3} -4x^{4}\right) +x^{5}+4x^{6}$$

$$=\left( 1+x+x^{2}\right) \left( 2-3x+x^{2}+3x^{3}-4x^{4}\right) +x^{5}\left( 1+4x\right)$$

Le quotient de la division selon les puissances à l'ordre $4$ des deux polynômes est donc égal au polynôme $2-3x+x^{2}+3x^{3}-4x^{4}.$

Exercice 4.17   Effectuer la division selon les puissances croissantes à l'ordre $4$ du polynôme $x^{3}+x-5$ par le polynôme $x^{2}-2x+1.$