Développement limité d'un quotient

Proposition 4.11   Soient $f$ et $g$ deux fonctions admettant un développement limité à l'ordre $n$ :

$$f\left( x\right) =A_{n}\left( x\right) +o\left( x^{n}\right)$$    et g$$\left( x\right) =B_{n}\left( x\right) +o\left( x^{n}\right)$$    avec $$B\left( 0\right) \neq0$$

La division de $A_{n}$ par $B_{n}$ selon les puissances décroissantes à l'ordre $n$ s'écrit

$$A_{n}\left( x\right) =B_{n}\left( x\right) Q_{n}\left( x\right) +x^{n+1}R\left( x\right)$$    avec $$\deg\left( Q_{n}\right) \leqslant n$$

Alors $\frac{f}{g}$ admet un développement limité à l'ordre $n$ qui s'écrit

$$\frac{f\left( x\right) }{g\left( x\right) }=Q_{n}\left( x\right) +o\left( x^{n}\right)$$

Exercice 4.18   On se propose dans cet exercice de trouver un développement limité à l'ordre $4$ au voisinage de 0 de

$$\ln\left( \frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right)$$

1. Déterminer les développements limités à l'ordre $4$ au voisinage de 0 de $1+\tan x$ et de $1-\tan x.$

2. En déduire le développement limité à l'ordre $4$ de $\frac{1+\tan x}{1-\tan x}$ au voisinage de 0.

3. Calculer alors le développement cherché.