Développement limité et continuité

Proposition 4.12   Si une fonction $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ donné par

$$f\left( x\right) =a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}+o\left( x^{n}\right)$$

alors $f$ est continue en 0 et $f\left( 0\right) =a_{0}.$ Si de plus $n\geqslant1,$ alors $f$ est dérivable en $0,$ et $f^{\prime}\left( 0\right) =a_{1}.$

Proposition 4.13   Si $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ de partie régulière $P,$ et si de plus $f^{\prime}$ admet un développement limité à l'ordre $n-1,$ alors la partie régulière du développement de $f^{\prime}$ est égale à $P^{\prime}.$

Exercice 4.19   On définit la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ par :

$$f\left( x\right) =x^{3}\cos\frac{1}{x}$$ pour $$x\neq0$$ et $$f\left( 0\right) =0$$

1. La fonction $f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ?

2. Démontrer que la fonction $f$ admet un développement limité à l'ordre $2$ en $0,$ dont la partie régulière est nulle.

3. Déterminer l'expression de $f^{\prime }\left( x\right)$ pour tout $x$ réel non-nul.

4. Démontrer que la fonction $f$ est dérivable en $0,$ et que $f^{\prime}\left( 0\right) =0$

5. Démontrer que la fonction $f^{\prime}$ n'est pas dérivable en $0,$ donc que la fonction $f$ n'est pas deux fois dérivable en $0.$