Développement limité en un point

Définition 4.5   Soit $f$ une fonction définie sur un voisinage de $a,$ et $n$ un entier naturel. On dit que la fonction $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ au voisinage de $a,$ s'il existe un polynôme $P_{n}$ de degré inférieur ou égal à $n$ tel que

$$f\left( x\right) =P_{n}\left( x-a\right) +\left( x-a\right) ^{n}\varepsilon\left( x\right)$$    avec $$\lim_{x\rightarrow a} \varepsilon\left( x\right) =0$$

On écrira dans ce cas :

$$f\left( x\right) =P_{n}\left( x-a\right) +o\left[ \left( x-a\right) ^{n}\right]$$

Théorème 4.8   La fonction $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ au voisinage de $a$ si et seulement si la fonction $F$ définie par $F\left( x\right) =f\left( x+a\right)$ admet un développement limité à l'ordre $n$ au voisinage de $0.$

Ce théorème permettra d'obtenir un développement limité au voisinage d'un point $a$ en effectuant le changement de variable défini par $x=u+a.$ Lorsque $x$ est au voisinage de $a,$ $u$ est au voisinage de $0,$ ce qui permet d'utiliser tous les résultats précédents.

Exercice 4.20   Déterminer le développement limité de $\sqrt{x}$ au voisinage de $2$ à l'ordre $3.$

Exercice 4.21   Déterminer le développement limité de la fonction $f$ définie par

$$f\left( x\right) =\sqrt[3]{\tan x}$$

à l'ordre $2$ au voisinage de $\frac{\pi}{4}.$ On rappelle la formule trigonométrique :

$$\tan\left( a+b\right) =\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$$