Exercices

Exercice 4.22   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^{\ast }$ par

$$f\left( x\right) =\frac{1-e^{-x}}{x}$$

En utilisant le développement limité de la fonction $x\mapsto e^{-x}$ à l'ordre $2$ au voisinage de $0,$ déterminer la limite de $f$ en $%% 0.$

Exercice 4.23   En utilisant le développement limité de $\left( 1+t\right) ^{\alpha },$ déterminer le développement limité au voisinage de 0 à l'ordre $3$ de la fonction $f:x\mapsto\sqrt{1+x}-x.$ En déduire une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ en $0.$ Préciser la position relative de la courbe et de sa tangente au voisinage de $0.$

Exercice 4.24   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f\left( x\right) =e^{2x}\left( 1-x\right) +1$$

1. Démontrer que le développement limité à l'ordre $3$ au voisinage de 0 de la fonction $f$ est :

   $$f\left( x\right) =2+x-\frac{2}{3}x^{3}+x^{3}\varepsilon\left( x\right) \lim_{x\rightarrow0}\varepsilon\left( x\right) =0$$

   
   

2. En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative $C$ de $f$ au point d'abscisse $0,$ puis étudier la position de $T$ par rapport à $C$ au voisinage de $0.$

Exercice 4.25   Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :

$$f\left( x\right) =e^{x}\qquad g\left( x\right) =1+x+\frac{x^{2}}{2}$$

On note $\left( C\right)$ et $\left( P\right)$ les courbes représentatives de $f$ et de $g$ dans un repère orthonormal.

1. Déterminer les équations des tangentes à $\left( C\right)$ et à $\left( P\right)$ au point d'abscisse $0.$ Que peut-on constater ?

2. Ecrire le développement limité de $f\left( x\right) -g\left( x\right)$ à l'ordre $3$ au voisinage de $0.$ En déduire la position relative des courbes $\left( C\right)$ et $\left( P\right)$ au voisinage de $0.$

Exercice 4.26   Déterminer le développement limité au voisinage de 0 à l'ordre $3$ de

$$\frac{\sin\frac{x}{2}}{e^{2x}}$$

Exercice 4.27   Déterminer le développement limité au voisinage de $-1$ à l'ordre $3$ de

$$\frac{\ln\left( 2+x\right) }{\sin\left( 1+x\right) }$$

Exercice 4.28   Déterminer la limite suivante :

$$\lim_{x\rightarrow1}\frac{e^{x^{2}+x}-e^{2x}}{\cos\frac{\pi x}{2}}$$