Recherche de primitives

Si $f$ est une fonction continue sur $\left[ a,b\right] ,$ alors elle admet des primitives sur $\left[ a,b\right] .$ Lorsque l'on peut en calculer une, cela fournit la valeur de $\int_{a}^{b}f(x)\,dx.$

Définition 5.3   La notation $\int f\left( x\right) \,dx$ désigne une primitive de la fonction $f.$

Les primitives usuelles sont données dans le tableau suivant :

$$\begin{tabular}[c]{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert}\hline\... ...dx=x\ln x-x+C$\ & $\mathbb{{R}_{+}^{*}}$\\ \hline \end{tabular}$$

On rappelle les relations suivantes :

$$\quad\operatorname*{Argsh}x =\ln\left( x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \,\forall x\in\mathbb{R}\quad\... ...ft\vert x+\sqrt{x^{2}-1}\right\vert \,\forall x\in\mathbb{R-}\left[ -1,1\right]$$

$$\operatorname*{Argth}x =\frac12\ln\left\vert \frac{1+x}{1-x}\right\vert \,\forall x\in\m... ...me*{Arccos} x+\operatorname*{Arcsin}x=\frac\pi2\,\forall x\in\left] -1,1\right[$$

Exercice 5.8   Calculer les intégrales suivantes :

$$I_{1}=\int_{1}^{e}\frac{\ln t}{t}\,dt\qquad I_{2}=\int_{0}^{1}\le... ...3}=\int3x\sqrt{1-2x^{2}}\,dx\qquad I_{4}=\int\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}\,dx$$

Exercice 5.9   En utilisant une décomposition en éléments simples, calculer l'intégrale suivante :

$$I=\int_{2}^{3}\frac{x^{3}-3x^{2}+x}{1-x^{2}}dx$$

Exercice 5.10   On définit les intégrales suivantes

$$I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{1+2\sin x}\,dx\qquad ... ...{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin\left( 2x\right) }{1+2\sin x}\,dx\qquad I_{2}=I_{1}+I$$

Calculer $I_{1},$ $I_{2}$ et en déduire la valeur de $I.$