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Recherche de primitives

Si $ f$ est une fonction continue sur $ \left[ a,b\right] ,$ alors elle admet des primitives sur $ \left[
a,b\right] .$ Lorsque l'on peut en calculer une, cela fournit la valeur de $ \int_{a}^{b}f(x)\,dx.$

Définition 5.3   La notation $ \int f\left( x\right) \,dx$ désigne une primitive de la fonction $ f.$

Les primitives usuelles sont données dans le tableau suivant :

\begin{displaymath}
\begin{tabular}[c]{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert}\hline\...
...dx=x\ln x-x+C$\ &
$\mathbb{{R}_{+}^{*}}$\\ \hline
\end{tabular}\end{displaymath}

On rappelle les relations suivantes :

$\displaystyle \quad\operatorname*{Argsh}x$ $\displaystyle =\ln\left( x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \,\forall x\in\mathbb{R}\quad\...
...ft\vert x+\sqrt{x^{2}-1}\right\vert \,\forall x\in\mathbb{R-}\left[ -1,1\right]$    
$\displaystyle \operatorname*{Argth}x$ $\displaystyle =\frac12\ln\left\vert \frac{1+x}{1-x}\right\vert \,\forall x\in\m...
...me*{Arccos} x+\operatorname*{Arcsin}x=\frac\pi2\,\forall x\in\left] -1,1\right[$    

Exercice 5.8   Calculer les intégrales suivantes :

$\displaystyle I_{1}=\int_{1}^{e}\frac{\ln t}{t}\,dt\qquad I_{2}=\int_{0}^{1}\le...
...3}=\int3x\sqrt{1-2x^{2}}\,dx\qquad
I_{4}=\int\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}\,dx
$

Exercice 5.9   En utilisant une décomposition en éléments simples, calculer l'intégrale suivante :

$\displaystyle I=\int_{2}^{3}\frac{x^{3}-3x^{2}+x}{1-x^{2}}dx
$

Exercice 5.10   On définit les intégrales suivantes

$\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{1+2\sin x}\,dx\qquad ...
...{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin\left( 2x\right) }{1+2\sin x}\,dx\qquad
I_{2}=I_{1}+I
$

Calculer $ I_{1},$ $ I_{2}$ et en déduire la valeur de $ I.$



Michel 2002-08-06