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Intégration par parties

Définition 5.4   $ k$ étant un entier non nul, et $ I$ un intervalle de $ \mathbb{R},$ on désigne par $ \mathcal{C}^{k}\left( I,\mathbb{R}\right) $ l'ensemble des fonctions de classe $ \mathcal{C}^{k}$, c'est à dire qui sont $ k$ fois dérivables sur $ I,$ et dont la dérivée $ k$-ième est continue sur $ I.
\index{Fonction!de classe Ck}$

Théorème 5.8   Soient $ f$ et $ g$ deux fonctions appartenant à $ \mathcal{C}^{1}\left(
I,\mathbb{R}\right) ,$ et $ \left( a,b\right) \in I^{2}.$ On a

$\displaystyle \fbox{$\int_a^{b}f\left( x\right) \,g^{\prime}\left( x\right) \,d...
...) \right] _a^{b}-\int_a^{b}f^{\prime
}\left( x\right) \,g\left( x\right) \,dx$}$

Exercice 5.11   Déterminer chaque intégrale à l'aide d'une intégration par parties :

$\displaystyle L=\int_{0}^{1}xe^{x}dx\qquad K=\int_{0}^{\pi}\left( x-1\right) \left( \cos
x\right) dx
$

Exercice 5.12   En effectuant deux intégrations par parties successives, calculer l'intégrale

$\displaystyle K=\int_{0}^{\pi}\sin t\,e^{t}\,dt
$



Michel 2002-08-06