Changement de variable

Théorème 5.9   Soient $I$ et $J$ des intervalles de $\mathbb{R},$ $g$ une application de $I$ dans $J$ de classe $\mathcal{C}^{1},$ et $f$ une fonction appartenant à $\mathcal{C}^{0}\left( J,\mathbb{R}\right) .$ Pour tout $a$ et $b$ de $I,$ on a

$$\int_{a}^{b}f\left( g\left( t\right) \right) \,g^{\prime}\left( t\right) \,dt=\int_{g\left( a\right) }^{g\left( b\right) }f\left( u\right) \,du$$

Soit $F$ une primitive de $f$ sur $J.$ On a de manière évidente

$$\int_{g\left( a\right) }^{g\left( b\right) }f\left( u\right) \,du=F\left( g\left( b\right) \right) -F\left( g\left( a\right) \right)$$

Comme $g\left( I\right) \subset J,$ on a $F\circ g\in\mathcal{C}^{1}\left( I,\mathbb{R}\right) ,$ et $\left( F\circ g\right) ^{\prime}=g^{\prime }\times\left( f\circ g\right) .$ On en déduit que

$$\int_{a}^{b}f\left( g\left( t\right) \right) \,g^{\prime}\left( t... ...( a\right) =F\left( g\left( b\right) \right) -F\left( g\left( a\right) \right)$$

Exemple : Calculons $I$ = ${\displaystyle\int\nolimits_{-1}^{1}} \dfrac{e^{t}}{e^{2t}+1}\,dt$ .

On pose $t=ln(u)$ $\Leftrightarrow u=e^{t}$ . On en déduit que $dt=\frac{du}u$ .

Pour $t=-1$, $u=e-1$ et pour $t=1$, $u=e$. D'où

$$I=\int\nolimits_{-1}^{1}\frac{e^{t}}{e^{2t}+1}dt=\int\nolimits_{e... ...2} +1}du=\operatorname*{Arctan}(e)-\operatorname*{Arctan}\left( \frac1e\right)$$

On n'oubliera pas de changer les bornes d'intégration.

Exercice 5.13   A l'aide du changement de variable défini par $t=u\sqrt{2}-1,$ calculer l'intégrale

$$\int_{0}^{1}\frac{dt}{t^{2}+2t+3}$$

Exercice 5.14   En posant $u=\sin t,$ calculer l'intégrale

$$J=\int\nolimits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos t}{1+\sin^{2}t}dt$$

$\,$

Exercice 5.15   Calculer l'intégrale

$$I=\int_{0}^{1}t\sqrt{3t+2}\,dt$$

à l'aide du changement de variable défini par $u=3t+2.$

Exercice 5.16   Soit $f$ une fonction continue et paire sur l'intervalle $\left[ -a,a\right] .$ Etablir à l'aide du changement de variable défini par $u=-t$ que

$$\int_{-a}^{a}f\left( t\right) \,dt=2\int_{0}^{a}f\left( t\right) \,dt$$

On peut de même démontrer que si $f$ est impaire, on a alors :

$$\int_{-a}^{a}f\left( t\right) \,dt=0$$