Interprétation géométrique

Le plan est rapporté à un repère $\left( O\text{;}\overrightarrow {i},\overrightarrow{j}\right) .$

Proposition 5.4   Si $f$ est une fonction continue et positive sur $\left[ a,b\right] ,$ avec $a\leqslant b$, ( voir la figure 1 ) alors l'aire du domaine plan limité par la courbe représentative de $f,$ l'axe des abscisses, les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ est égale à $\int_{a}^{b}f\left( x\right) \,dx. \index{Calcul@Calcul!daire@daire}$

On prendra garde que le résultat obtenu est en unité d'aire, et qu'il faudra le multiplier par l'unité choisie pour le graphique. En abrégé, l'unité d'aire se note $u.a.$

Pour une fonction $f$ à valeurs négatives sur $\left[ a,b\right] ,$ l'aire entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ est donnée par $-\int_{a}^{b}f\left( x\right) \,dx.$

Lorsque la fonction $f$ n'est pas de signe constant, comme dans le cas de la figure 2, on obtient pour l'aire hachurée la valeur $\int_{a}^{b}\left\vert f\left( x\right) \right\vert \,dx=-\int_{a}^{c}f\left( x\right) \,dx+\int _{c}^{b}f\left( x\right) \,dx.$

Proposition 5.5   Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $\left[ a,b\right] ,$ avec $a\leqslant b,$ alors l'aire comprise entre les courbes d'équation $y=f\left( x\right) ,$ $y=g\left( x\right)$ et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ est donnée par :

$$A=\int_{a}^{b}\left\vert f\left( x\right) -g\left( x\right) \right\vert \,dx$$

Il suffit alors de connaître la position respective des courbes pour calculer cette intégrale.

Exercice 5.17   Déterminer l'aire délimitée par les droites d'équations $x=-1,$ $x=2,$ et par les courbes d'équations $y=x^{2}-2$ et $y=-x^{2}+x+1.$