Définitions

On désignera dans la suite de ce chapître par $a$ un réel et par $b$ un élément de $\overline{\mathbb{R}}$ tels que $a<b$ .

Définition 5.7   On dit que la fonction numérique $f$ définie sur un intervalle $I$ est localement intégrable sur $I$ si pour tout intervalle fermé borné $\left[ u,v\right]$ inclus dans $I,$ la restriction de $f$ à $\left[ u,v\right]$ est intégrable sur $\left[ u,v\right] .$

Définition 5.8   Si $f$ est une fonction localement intégrable sur $\left[ a,b\right] ,$ alors on dit que l'intégrale de $f$ converge sur $\left[ a,b\right[$ si l'application

$$x\mapsto\int_{a}^{x}f\left( t\right) \,dt$$

admet une limite $l$ quand $x$ tend vers $b.$ Dans ce cas, $l$ s'appelle l'intégrale impropre ou généralisée de $f$ sur $\left[ a,b\right[ ,$ que l'on note $\int_{a} ^{b}f\left( t\right) \,dt.$

Définition 5.9   Dans le cas contraire, on dit que l'intégrale de $f$ est divergente sur $\left[ a,b\right[ .$

On peut de même définir l'intégrale généralisée de $f$ sur $\left] c,a\right] ,$ avec $c\in\overline{\mathbb{R}}$ et $a\in\mathbb{R}$ tels que $c<a$ comme la limite quand $x$ tend vers $c$, lorsqu'elle existe, de $x\mapsto\int_{x}^{a}f\left( t\right) \,dt.$

Exercice 5.23   Etudier la convergence ou la divergence des intégrales :

$$\int_{0}^{+\infty}e^{-2t}\,dt\qquad\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{1+... ...}{\sqrt{t}}\qquad\int_{0}^{+\infty}\sin t\,dt\qquad \int_{1}^{2}\frac{dt}{t-1}$$