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Calcul des intégrales impropres

Soit $ f$ une fonction localement intégrable sur $ \left[
a,b\right] .$ On suppose que l'intégrale de $ f$ sur $ \left[ a,b\right[ $ est convergente. Pour calculer cette intégrale, on effectuera un calcul classique de l'intégrale de $ f$ sur $ \left[ a,x\right] $, par recherche de primitives, par intégration par parties, ou par changement de variable, puis on fera tendre $ x$ vers $ b$ pour obtenir la valeur de $ \int_{a}
^{b}f\left( x\right) \,dx.$

Exercice 5.24   Calculer à l'aide de deux intégrations par parties l'intégrale généralisée

$\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty}x^{2}e^{-2x}\,dx
$

Exercice 5.25   Etudier la convergence, puis effectuer le calcul de l'inté grale

$\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{2}}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}\,dx
$

On pourra utiliser le changement de variable défini par $ x=\tan u.$



Michel 2002-08-06