Calcul des intégrales impropres

Soit $f$ une fonction localement intégrable sur $\left[ a,b\right] .$ On suppose que l'intégrale de $f$ sur $\left[ a,b\right[$ est convergente. Pour calculer cette intégrale, on effectuera un calcul classique de l'intégrale de $f$ sur $\left[ a,x\right]$, par recherche de primitives, par intégration par parties, ou par changement de variable, puis on fera tendre $x$ vers $b$ pour obtenir la valeur de $\int_{a} ^{b}f\left( x\right) \,dx.$

Exercice 5.24   Calculer à l'aide de deux intégrations par parties l'intégrale généralisée

$$I=\int_{0}^{+\infty}x^{2}e^{-2x}\,dx$$

Exercice 5.25   Etudier la convergence, puis effectuer le calcul de l'inté grale

$$I=\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{2}}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}\,dx$$

On pourra utiliser le changement de variable défini par $x=\tan u.$