Exercices

Exercice 5.26   On pose, pour tout entier naturel $n$ :

$$I_{n}=\int_{0}^{1}x^{n+\frac{1}{2}}\sqrt{1-x}\,dx$$

1. Soient $g$ et $G$ les fonctions définies sur $\left[ 0,1\right]$ par :

   $$g\left( x\right) =\sqrt{1-x} G\left( x\right) =-\frac{2}{3}\left( 1-x\right) ^{\frac{3}{2}}$$

   
   
   Vérifier que G est la primitive de $g$ qui s'annule en 1.

2. Pour tout entier $n\geqslant1,$ établir à l'aide d'une intégration par parties que :

   $$I_{n}=\frac{2}{3}\left( n+\frac{1}{2}\right) \left( I_{n-1}-I_{n}\right)$$

   
   
   On remarquera que $\left( 1-x\right) ^{\frac{3}{2}}=\left( 1-x\right) \sqrt{%% 1-x}.$

3. En déduire l'expression de $I_{n}$ en fonction de $I_{n-1}.$

4. En admettant que $I_{0}=\frac{\pi }{8}$ , calculer alors les valeurs de $I_{1}$ et $I_{2}.$

Exercice 5.27   Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left( t\right) =%% \dfrac{t^{2}+2}{t^{2}+1}$ et $F$ la fonction définie $\mathbb{R}$ par $%% F\left( x\right) =\int_{0}^{x}f\left( t\right) dt$. On ne cherchera pas à calculer cette intégrale.

1. Quelle est la parité de la fonction $f$ ? Calculer alors la valeur de $F\left( x\right) -F\left( -x\right) ,$ et en déduire que la fonction $F$ est impaire.

2. Calculer la dérivée de $F,$ et déterminer le sens de variation de $F.$ On ne demande pas le calcul des limites aux bornes du domaine de définition.

3. On définit pour tout réel $x$ la fonction $\varphi$ par $%% \varphi \left( x\right) =\int_{x}^{x+2}f\left( t\right) \,dt$
   1. Vérifier que pour tout $x$ réel, $\varphi \left( x\right) =F\left( x+2\right) -F\left( x\right) .$

   2. En déduire que $\varphi ^{\prime }\left( x\right) =\dfrac{%% -4\left( x+1\right) }{\left[ \left( x+2\right) ^{2}+1\right] \left[ x^{2}+1\right] }$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}.$

   3. Déterminer alors le sens de variation de $\varphi .$

4. 1. Vérifier que pour tout $x$ de $\mathbb{R},$ on a $\varphi \left( x\right) -2=\int_{x}^{x+2}\left( f\left( t\right) -1\right) \,dt$

   2. Démontrer que pour tout $t$ de $\left] -\infty ,-3\right] \cup %% \left[ 3,+\infty \right[$

      $$\left\vert f\left( t\right) -1\right\vert \leqslant \frac{1}{t^{2}}$$

      
      

   3. En déduire que pour tout $x$ de $\left] -\infty ,-3\right] \cup %% \left[ 3,+\infty \right[$

      $$\left\vert \varphi \left( x\right) -2\right\vert \leqslant \frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}$$

      
      

   4. Déterminer alors les limites de $\varphi$ lorsque $x$ tend vers $%% +\infty$ et $-\infty .$

   5. En admettant que $\varphi \left( -1\right) =2+\frac{\pi }{2},$ dresser le tableau de variations de $\varphi .$