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Exercices

Exercice 5.26   On pose, pour tout entier naturel $ n$ :

$\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{1}x^{n+\frac{1}{2}}\sqrt{1-x}\,dx$    

  1. Soient $ g$ et $ G$ les fonctions définies sur $ \left[ 0,1\right] $ par :

    $\displaystyle g\left( x\right) =\sqrt{1-x}$ et $\displaystyle G\left( x\right) =-\frac{2}{3}\left( 1-x\right) ^{\frac{3}{2}}$    

    Vérifier que G est la primitive de $ g$ qui s'annule en 1.

  2. Pour tout entier $ n\geqslant1,$ établir à l'aide d'une intégration par parties que :

    $\displaystyle I_{n}=\frac{2}{3}\left( n+\frac{1}{2}\right) \left( I_{n-1}-I_{n}\right)$    

    On remarquera que $ \left( 1-x\right) ^{\frac{3}{2}}=\left( 1-x\right) \sqrt{%%
1-x}.$

  3. En déduire l'expression de $ I_{n}$ en fonction de $ I_{n-1}.$

  4. En admettant que $ I_{0}=\frac{\pi }{8}$ , calculer alors les valeurs de $ I_{1}$ et $ I_{2}.$

Exercice 5.27   Soit $ f$ la fonction définie sur $ \mathbb{R}$ par $ f\left( t\right) =%%
\dfrac{t^{2}+2}{t^{2}+1}$ et $ F$ la fonction définie $ \mathbb{R}$ par $ %%
F\left( x\right) =\int_{0}^{x}f\left( t\right) dt$. On ne cherchera pas à calculer cette intégrale.

  1. Quelle est la parité de la fonction $ f$ ? Calculer alors la valeur de $ F\left( x\right) -F\left( -x\right) ,$ et en déduire que la fonction $ F$ est impaire.

  2. Calculer la dérivée de $ F,$ et déterminer le sens de variation de $ F.$ On ne demande pas le calcul des limites aux bornes du domaine de définition.

  3. On définit pour tout réel $ x$ la fonction $ \varphi$ par $ %%
\varphi \left( x\right) =\int_{x}^{x+2}f\left( t\right) \,dt$

    1. Vérifier que pour tout $ x$ réel, $ \varphi \left( x\right)
=F\left( x+2\right) -F\left( x\right) .$

    2. En déduire que $ \varphi ^{\prime }\left( x\right) =\dfrac{%%
-4\left( x+1\right) }{\left[ \left( x+2\right) ^{2}+1\right] \left[ x^{2}+1\right] }$ pour tout $ x$ de $ \mathbb{R}.$

    3. Déterminer alors le sens de variation de $ \varphi .$

    1. Vérifier que pour tout $ x$ de $ \mathbb{R},$ on a $ \varphi \left(
x\right) -2=\int_{x}^{x+2}\left( f\left( t\right) -1\right) \,dt$

    2. Démontrer que pour tout $ t$ de $ \left] -\infty ,-3\right] \cup %%
\left[ 3,+\infty \right[ $

      $\displaystyle \left\vert f\left( t\right) -1\right\vert \leqslant \frac{1}{t^{2}}$    

    3. En déduire que pour tout $ x$ de $ \left] -\infty ,-3\right] \cup %%
\left[ 3,+\infty \right[ $

      $\displaystyle \left\vert \varphi \left( x\right) -2\right\vert \leqslant \frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}$    

    4. Déterminer alors les limites de $ \varphi$ lorsque $ x$ tend vers $ %%
+\infty $ et $ -\infty .$

    5. En admettant que $ \varphi \left( -1\right) =2+\frac{\pi }{2},$ dresser le tableau de variations de $ \varphi .$


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Michel 2002-08-06