Solution 5.1 : On trouve : et
Solution 5.2 : On écrit en utilisant la
relation de Chasles :
Solution 5.3 :
Solution 5.4 :
.
Solution 5.5 : 1) Comme pour tout de
on en déduit que
Solution 5.7 : La fonction
est continue sur
donc
est
dérivable sur
de dérivée
Par
dérivation du produit, on a :
Solution 5.8 : On obtient les résultats
suivants :
Solution 5.9 : On a :
Solution 5.11 : On obtient :
Solution 5.12 : On effectue une première
intégration par parties :
Solution 5.13 : On a
Solution 5.14 : On a :
Solution 5.15 : On a d'où
Solution 5.17 : On commence par étudier les
positions respectives des deux courbes sur
On trouve
que :
Solution 5.18 : On obtient les résultats
suivants :
(1) (a)
(1) (b)
(1) (c) On en déduit que
et on peut proposer
(2)
(3) En utilisant
l'aire d'un trapèze,il vient :
Solution 5.19 : On reconnaît une somme de
Riemann, d'où
Solution 5.20 : On reconnaît une somme de
Riemann
Solution 5.21 : En calculant le logarithme
népérien de cette expression strictement positive, on trouve que :
Solution 5.22 : 1) Evident.
2)
On peut utiliser soit la formule donnant le
volume d'un cône de révolution
ou
montrer qu'une équation de la droite
est
et en déduire que le volume cherché est donné
par la formule :
Solution 5.23 : On obtient les résultats
suivants :
donc l'intégrale est convergente, et
Or
, donc l'intégrale est
divergente.
donc l'intégrale est convergente, et
donc
l'intégrale est divergente.
donc l'intégrale est divergente.
Solution 5.24 : On effectue une intégration
par parties sur
d'où
Solution 5.25 : On effectue le changement de
variable proposé, mais pour l'intégrale définie suivante :
Solution 5.26 :
1. Il suffit de vérifier que
et que pour tout
de
on a
2. On effectue une intégration par parties :
Solution 5.27 :
1. est paire, donc
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