Sommes de Riemann

Définition 5.5   On appelle subdivision pointée de $\left[ a,b\right]$ le couple constituée d'une subdivision
$\sigma=\left( x_{i}\right) _{0\leqslant i\leqslant n}$ de $\left[ a,b\right]$ et d'une famille de réels vérifiant $x_{i-1}\leqslant t_{i}\leqslant x_{i}$ pour tout $i\in\langle1,n\rangle.$ On notera une telle subdivision $\left( \sigma,t\right) .$

Définition 5.6   Soit $f$ une application de $\left[ a,b\right]$ dans $\mathbb{R},$ et $\left( \sigma,t\right)$ une subdivision pointée de $\left[ a,b\right] .$ On appelle somme de Riemann relativement à $\left( \sigma,t\right)$ le réel $S\left( f,\sigma,t\right)$ défini par

$$S\left( f,\sigma,t\right) =\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-x_{i-1}\right) f\left( t_{i}\right)$$

Théorème 5.10   Soit $f$ une fonction continue sur $\left[ a,b\right] .$ Pour tout $\varepsilon>0,$ il existe $\eta>0$ tel que pour toute subdivision pointée $\left( \sigma,t\right)$ de $\left[ a,b\right]$ dont le pas $\delta\left( \sigma\right) \leqslant\eta,$ on ait

$$\left\vert S\left( f,\sigma,t\right) -\int_{a}^{b}f\left( t\right) \,dt\right\vert \leqslant\varepsilon$$

Corollary 5.11   Soit $f$ une fonction continue sur $\left[ a,b\right] ,$ et $\left( \sigma_{p},t_{p}\right) _{p\geqslant0}$ une suite de subdivisions pointées de $\left[ a,b\right]$ dont le pas tend vers 0 quand $p$ tend vers $+\infty .$ On a alors

$$\int_{a}^{b}f\left( t\right) \;dt=\lim_{p\rightarrow+\infty}S\left( f,\sigma_{p},t_{p}\right)$$

En particulier, on obtient les deux résultats suivants importants dans la pratique :

$$\fbox{$\int_a^{b}f\left( t\right) \;dt=\lim_{p\rightarrow+\infty}... ...tarrow+\infty}\sum_{i=1}^{p}\left( x_i-x_{i-1}\right) f\left( x_{i-1}\right) $}$$

Si l'on choisit pour $\sigma$ une subdivision régulière en posant $x_{i}=a+i\frac{b-a}{n}$ pour tout $i$ de $\langle0,n\rangle,$ on a les égalités

$$\fbox{$\int_a^{b}f\left( t\right) \;dt=\lim_{n\rightarrow+\infty}... ...ightarrow +\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^{n}f\left( a+i\frac{b-a}{n}\right) $}$$

Exercice 5.19   Calculer la valeur de la limite de la somme suivante :

$$S_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{1}{n}\left( \sin \frac{\pi}{n}+\sin\frac{2\pi}{n}+\cdots+\sin\frac{n\pi}{n}\right)$$

Exercice 5.20   Calculer la valeur de la limite de la somme suivante :

$$S_{n}^{\prime}=\frac{1}{n^{3}}\left( 1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}\right) =\frac{1}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n}k^{2}$$

Exercice 5.21   Calculer la valeur de la limite de la somme suivante :

$$S_{n}^{\prime\prime}=\frac{1}{n}\sqrt[ n]{\left( n+1\right) \left... ...dots\left( 2n\right) }=\frac{1}{n}\prod_{k=1}^{n}\sqrt[ n]{\left( k+n\right) }$$