Calcul des volumes

Le théorème suivant permet de calculer des volumes en utilisant le calcul intégral :

Théorème 5.12   On considère un solide $\left( \sum\right)$ limité par les plans parallèles d'équations $z=a$ et $z=b$, avec $a\leqslant b.$ Pour tout $z\in\left[ a,b\right] ,$ on note $P_{z}$ le plan perpendiculaire à $\left( Oz\right)$ et de côte $z;$ $S\left( z\right)$ l'aire de la section du solide par le plan $P_{z}.$ Lorsque $S$ est une fonction continue sur $\left[ a,b\right] ,$ le volume $V$ du solide est donné en unités de volumes par

$$V=\int_{a}^{b}S\left( z\right) \,dz$$

Cette formule se simplifie dans le cas d'un solide de révolution. Prenons le cas du solide engendré par la rotation autour de l'axe $\left( Ox\right)$ de la courbe d'équation $y=f\left( x\right) ,$ avec $a\leqslant x\leqslant b.$ Le volume de ce solide est donné par la formule suivante :

$$V=\int_{a}^{b}\pi\left( f\left( x\right) \right) ^{2}dx$$

Exercice 5.22   Le but de cet exercice est de calculer le volume d'une toupie. On obtient un modèle réduit de cette toupie par rotation autour de l'axe des abscisses $\left( xx^{\prime}\right)$ de la surface hachurée ci-dessous. L'unité graphique est de $1$ cm. On donne les quatre points : $A\left( 3,4\right) ,$ $B\left( 5,2\right) ,$ $C\left( 10,0\right)$ et $D\left( 5,0\right) .$ La partie inférieure du modèle est le cône de révolution engendré par le triangle $BCD.$ La partie supérieure du modèle réduit est engendrée par la surface limitée par une courbe $\Gamma$ ayant l'allure du schéma et vérifiant les conditions suivantes :
$\blacktriangle$ La courbe $\Gamma$ passe par $O,$ $A$ et $B.$
$\blacktriangle$ La courbe $\Gamma$ a une tangente horizontale au point $A.$

1. Vérifier que la courbe d'équation $y=4\sin\left( \frac{\pi x}{6}\right)$ remplit les conditions.

2. Calculer le volume en cm$^{3}$ de la partie inférieure du modèle réduit.

3. Calculer le volume en cm$^{3}$ de la partie supérieure du modèle réduit.

4. Sachant que la hauteur $OC$ de la toupie en vraie grandeur est de $30$ cm, calculer la valeur exacte du volume en cm$^{3}$ de cette toupie.