Intégrales et inégalités

Théorème 5.1   Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a\leqslant b$, $f$ désignant une fonction continue sur $\left[ a,b\right]$ telle que $f(x)\geqslant 0$ pour tout $x$ de $\left[ a,b\right]$. Alors $\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx\geqslant0.$

Théorème 5.2   Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a\leqslant b$, $f$ et $g$ désignant deux fonctions continues sur $\left[ a,b\right]$ telles que $f(x)\leqslant g(x)$ pour tout $x$ de $\left[ a,b\right]$ . Alors

$${\int\nolimits_{a}^{b}f(x)dx\leqslant\int\nolimits_{a}^{b}g(x)dx}$$

On peut appliquer le théorème 5.1 à la fonction $g-f$.

Il existe un théorème plus précis souvent utile dans la pratique :

Théorème 5.3 (de séparation)   Si $f$ est une fonction continue, de signe constant sur $\left[ a,b\right] ,$ alors la condition $\int_{a}^{b}f\left( x\right) \,dx=0$ équivaut à $f\left( x\right) =0$ pour tout $x$ de $\left[ a,b\right] . \index{Théorème@Théorème!de séparation@de séparation}$

Théorème 5.4 (Formule de la moyenne)   Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\left[ a,b\right] ,$ avec $a\leqslant b.$ On suppose que la fonction $g$ est positive sur $\left[ a,b\right] .$ On appelle $m$ et $M$ respectivement la borne inférieure et la borne supérieure de $f$ sur $\left[ a,b\right] .$ On a

$$m\int_{a}^{b}g\left( x\right) \,dx\leqslant\int_{a}^{b}f\left( x\right) \,g\left( x\right) \,dx\leqslant M\int_{a}^{b}g\left( x\right) \,dx$$ (8.1)

Si de plus la fonction $f$ est continue, alors il existe $c\in$ $\left[ a,b\right]$ tel que $\index{Théorème@Théorème!de la moyenne@de la moyenne}$

$$\int_{a}^{b}f\left( x\right) \,g\left( x\right) \,dx=f\left( c\right) \int_{a}^{b}g\left( x\right) \,dx$$ (8.2)

Les inégalités (8.1) résultent immédiatement du fait que pour tout $x$ de $\left[ a,b\right] ,$ on ait

$$mg\left( x\right) \leqslant f\left( x\right) \,g\left( x\right) \leqslant Mg\left( x\right)$$

Si $\int_{a}^{b}g\left( x\right) \,dx=0,$ alors d'après (8.1), on a $\int_{a}^{b}f\left( x\right) \,dx=0,$ donc la relation (8.2) est vraie pour tout réel $c$ de $\left[ a,b\right] .$

Si $\int_{a}^{b}g\left( x\right) \,dx\neq0,$ alors le nombre $\lambda$ défini par $\int_{a}^{b}f\left( x\right) \,g\left( x\right) \,dx=\lambda\int_{a}^{b}g\left( x\right) \,dx$ vérifie $m\leqslant \lambda\leqslant M,$ et la propriété (8.2) découle des théorèmes de continuité.

Proposition 5.3   Soit $f$ une fonction continue sur $\left[ a,b\right]$, avec $a\leqslant b$. On a :

$$\left\vert \int_{a}^{b}f\left( x\right) \,dx\right\vert \leqslant\int_{a} ^{b}\left\vert f\left( x\right) \right\vert \,dx$$ (5.1)

Si l'on ne suppose plus que $a\leqslant b,$ alors on a l'inégalité plus générale :

$$\fbox{$\left\vert \int_a^{b}f\left( x\right) \,dx\right\vert \leq... ...\left\vert \int_a^{b}\left\vert f\left( x\right) \right\vert \,dx\right\vert $}$$

Définition 5.2   Soit $f$ une fonction continue sur $\left[ a,b\right] ,$ avec $a\neq b.$ La valeur moyenne de $f$ sur $\left[ a,b\right]$ est le réel

$$V\left( f\right) =\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\left( t\right) \,dt$$

L'interprétation graphique consiste à considérer une fonction $f$ à valeurs positives sur $\left[ a,b\right] .$ L'aire définie entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations $x=a$ et $x=b$ est de même mesure que l'aire du rectangle de dimensions $V\left( f\right)$ sur $\left( b-a\right) .$

Théorème 5.5 (Inégalité de Cauchy-Schwarz)   Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques continues sur $\left[ a,b\right] ,$ avec $a\leqslant b$. On a

$$\fbox{$\left\vert \int_a^{b}f\left( x\right) \,g\left( x\right) \... ...ft( x\right) ^{2}\,dx}$\thinspace$\sqrt {\int_a^{b}g\left( x\right) ^{2}\,dx}$}$$

Il suffit de remarquer que pour tout $\lambda$ réel, on a $\left( \lambda f\left( x\right) +g\left( x\right) \right) ^{2}\geqslant0$ pour tout $x$ de $\left[ a,b\right] ,$ et donc

$$0\leqslant\int_{a}^{b}\left( \lambda f\left( x\right) +g\left( x\... ...\left( x\right) \,g\left( x\right) \,dx+\int _{a}^{b}g\left( x\right) ^{2}\,dx$$

Ce trinôme en $\lambda$ étant toujours positif a un discriminant négatif ou nul, c'est à dire que

$$\left( \int_{a}^{b}f\left( x\right) \,g\left( x\right) \,dx\right... ...{2}\,dx\right) \left( \int _{a}^{b}g\left( x\right) ^{2}\,dx\right) \leqslant0$$

On obtient le résultat demandé par l'application de la racine carrée.

Théorème 5.6 (Inégalité de Minkowski)   Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques continues sur $\left[ a,b\right] ,$ avec $a\leqslant b$. On a

$$\fbox{$\sqrt{\int_a^{b}\left[ f\left( x\right) +g\left( x\right) ... ...a^{b}f\left( x\right) ^{2}\,dx}$+$\sqrt {\int_a^{b}g\left( x\right) ^{2}\,dx}$}$$

Si l'on pose pour tout fonction intégrable $h$ sur $\left[ a,b\right]$ $N\left( h\right) =\sqrt{\int_{a}^{b}h\left( x\right) ^{2}\,dx},$ alors on a en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz $\,$

$$\int_{a}^{b}f\left( x\right) \,g\left( x\right) \,dx\leqslant\lef... ...\,g\left( x\right) \,dx\right\vert \leqslant N\left( f\right) N\left( g\right)$$

On en déduit que

$$N^{2}\left( f+g\right) =N^{2}\left( f\right) +2\int_{a}^{b}f\left... ...( g\right) ^{2}\leqslant\left( N\left( f\right) +N\left( g\right) \right) ^{2}$$

Le passage à la racine carrée fournit alors l'inégalité de Minkowsky.

Exercice 5.4   Déterminer la valeur moyenne de la fonction $x\mapsto x^{3}+x^{2}-x$ sur $\left[ 1,3\right] .$

Exercice 5.5   Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\left[ 0,1\right]$ à valeurs dans $\mathbb{R},$ continues et positives telles que pour tout $x$ de $\left[ 0,1\right] ,$ on ait $f\left( x\right) g\left( x\right) \geqslant1.$

1. Démontrer que :
   $$\int_{0}^{1}\sqrt{f\left( t\right) g\left( t\right) }dt\geqslant1$$

2. En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, établir que
   $$\left( \int_{0}^{1}\sqrt{f\left( t\right) g\left( t\right) }dt\ri... ...1}f\left( t\right) \,dt\right) \left( \int_{0}^{1}g\left( t\right) \,dt\right)$$

3. En déduire que :
   $$\left( \int_{0}^{1}f\left( t\right) \,dt\right) \left( \int_{0} ^{1}g\left( t\right) \,dt\right) \geqslant1$$