Intégrales et primitives

Théorème 5.7   Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ un réel de $I.$ La fonction définie sur $I$ par :

$$x\mapsto\int_{a}^{x}f\left( t\right) \,dt$$

est la primitive de la fonction $f$ sur $I$ qui s'annule en $a.$

En conséquence, si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I,$ et si $a$ appartient à $I,$ alors pour tout $x$ de $I,$ on a la relation :

$$\fbox{$\left( x\mapsto\int_a^{x}f\left( t\right) \,dt\right) ^{\prime }=f\left( x\right) $}$$

On retrouve ainsi en utilisant la définition de la fonction logarithme népérien la relation définie pour tout $x$ de $\mathbb{R}_{+}^{*}$ :

$$\ln x=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt$$

Exercice 5.6   Pour tout $x$ de $\mathbb{R} _{+},$ on pose

$$\varphi\left( x\right) =\int_{0}^{x}\frac{dt}{1+t^{3}}\qquad f\left( x\right) =\int_{0}^{2x}\frac{dt}{1+t^{3}}$$

Justifier que $\varphi$ et $f$ sont définies et dérivables sur $\mathbb{R} _{+},$ puis calculer les expresssions de leur dérivée.

Exercice 5.7   Pour tout $x$ de $\mathbb{R},$ on pose

$$f\left( x\right) =e^{-x^{2}}\int_{0}^{x}e^{t^{2}}dt$$

Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R},$ et que pour tout $x$ de $\mathbb{R},$ on a

$$f^{\prime}\left( x\right) +2xf\left( x\right) =1$$