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Suites arithmétiques

Définition 6.2   On dit qu'une suite $ \left( u_{n}\right)
$ est une suite arithmétique lorsqu'il existe un réel $ r$ tel que pour tout $ n$ de $ \mathbb{N},$ on ait $ u_{n+1}=u_{n}+r.$ Le réel $ r$ s'appelle la raison de la suite arithmétique.

Proposition 6.1   Si $ \left( u_{n}\right)
$ est une suite arithmétique de raison $ r$ et de premier terme $ u_{0},$ alors pour tout $ n$ de $ \mathbb{N}$

$\displaystyle \fbox{$u_n=u_0+nr$}$

Proposition 6.2   La somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique est donnée par

$\displaystyle \fbox{$u_0+u_1+\cdots+u_n=
{\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}}
u_k=\dfrac{\left( n+1\right) \left( u_0+u_n\right) }{2}$}$

Exercice 6.10   Sachant que $ \left( u_{n}\right)
$ est une suite arithmétique, que $ u_{0}=1,$ que $ u_{0}+u_{1}+\cdots+u_{100}=2,
$ exprimer $ u_{n}$ en fonction de $ n.$

Exercice 6.11   On considère les constructions suivantes, effectuées avec des cubes de même dimension :
\includegraphics[scale=0.4]{capes14.eps} Trouver le nombre d'étages de la construction, sachant qu'il y a $ 100$ fois plus de cubes que d'étages. On désignera par $ a_{n}$ le nombre de cubes de la couche inférieure dans la construction à $ n$ étages.

  1. Exprimer $ a_{n}$ en fonction de $ n.$

  2. Montrer par récurrence que :

    $\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=\frac{n\left( n+1\right) \left( n+2\right) }{6}
$

  3. Conclure.

Exercice 6.12   Soit $ \left( u_{n}\right)
$ une suite arithmétique et $ a$ un nombre réel. Montrer que la suite $ \left( v_{n}\right)
_{n\geqslant0}$ de terme général défini pour tout $ n$ par $ v_{n}=au_{n+1}^{2}-au_{n}^{2}$ est également une suite arithmétique.


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Michel 2002-08-06