Suites géométriques

Définition 6.3   On dit qu'une suite $\left( u_{n}\right)$ est une suite géométrique lorsqu'il existe un réel $q$ tel que pour tout $n$ de $\mathbb{N},$ on ait $u_{n+1}=qu_{n}.$ Le réel $q$ s'appelle la raison de la suite géométrique.

Proposition 6.3   Si $\left( u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_{0},$ alors pour tout $n$ de $\mathbb{N}$

$$\fbox{$u_n=u_0q^{n}$}$$

Proposition 6.4   La somme des termes consécutifs d'une suite géométrique est donnée par

$$\fbox{$u_0+u_1+\cdots+u_n= {\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}} u_k=u_0\left( \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\right) $}$$

Exercice 6.13   On considère la suite $\left( u_{n}\right)$ définie par

$$u_{0}=0$$et $$u_{n+1}=\frac{2u_{n}+3}{u_{n}+4}$$

1. On pose, pour tout entier $n,$
   $$v_{n}=\frac{u_{n}-1}{u_{n}+3}$$
   Montrer que $\left( v_{n}\right)$ est une suite géométrique.

2. Exprimer $v_{n},$ puis $u_{n}$ en fonction de $n.$

Exercice 6.14   On considère la suite $\left( u_{n}\right) _{n\geqslant0}$ dont les premiers termes sont :

$$\frac{1}{3},\quad\frac{2}{3},\quad\frac{2}{3^{2}},\quad\frac{2^{2... ...d\frac{2^{3}}{3^{3}},\quad\frac{2^{3}}{3^{4} },\quad\frac{2^{4}}{3^{4}},\ldots$$

Donner, en fonction de $n$ les expressions de $u_{2n}$ et $u_{2n+1}.$ Calculer les sommes :

$$u_{0}+u_{2}+u_{4}+\cdots+u_{2n}$$

$$u_{1}+u_{3}+u_{5}+\cdots+u_{2n+1}$$

$$S_{n} =u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}$$