Propriétés des suites

On révisera dans ce chapître les notions de suites majorée, minorée, bornée, croissante et décroissante. Il existe différentes techniques d'étude du sens de variation d'une suite :

• Pour une suite de terme général $u_{n}=f\left( n\right) ,$ où $f$ est une fonction numérique, le sens de variation de $f$ est celui de la suite $\left( u_{n}\right) .$

• On étudie le signe de la différence $\left( u_{n+1} -u_{n}\right) .$

• Pour une suite à valeurs strictement positives, on compare le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ à $1.$

• Pour une suite récurrente, on peut effectuer un raisonnement par récurrence.

Exercice 6.15   Etudier la monotonie des suites définies par

$$u_{n}=-\sqrt{n+3}\qquad v_{n}=2n-\frac{5}{n}\qquad w_{n}=2n+\frac{1}{5^{n} }\qquad t_{n}=\frac{2^{n}\sqrt{n}}{3^{n}}$$

Exercice 6.16   Montrer que chacune des suites ci-dessous est bornée :

$$u_{n}=1-\frac{1}{n}\qquad v_{n}=2,5-\cos n\qquad w_{n}=2+\frac{1}{1+n^{2} }\qquad t_{n}=\frac{3n-2}{3n+2}$$

Exercice 6.17   A l'aide d'un raisonnement par récurrence, déterminer le sens de variation des suites $\left( u_{n}\right)$ et $\left( v_{n}\right)$ définies par

$$u_{0}=5\quad u_{n+1}=\sqrt{u_{n}+2}$$   et        $$v_{0}=\frac{7e} {19}\quad v_{n+1}=v_{n}^{2}$$