Comportement asymptotique

Il est à noter que le programme de Terminale Scientifique ne donne pas de définition de la notion de limite d'une suite. La traduction de la convergence d'une suite à l'aide des quantificateurs est notamment hors programme. Par contre, les élèves ont à connaitre les limites des suites de références, les énoncés usuels sur les limites
( comparaison, compatibité avec l'ordre, somme, produit, quotient ). Les connaissances relatives aux croissances comparées des suites $\left( \ln n\right) ,$ $\left( a^{n}\right)$ et $\left( n^{\alpha }\right)$ sont un des objectifs de ce programme.

Définition 6.4   On dit qu'une suite $\left( u_{n}\right) _{n\geqslant0}$ converge vers le réel $l$ si

$$\forall\varepsilon\in\mathbb{R}_{+}^{*}\quad\exists N\in\mathbb{N}$$ tel que pour tout $$n\geqslant N$$ on a $$\left\vert u_{n}-l\right\vert <\varepsilon$$

On note dans ce cas $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_{n}=l.$

Définition 6.5   Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente.

Définition 6.6   On dit qu'une suite $\left( u_{n}\right)$ diverge vers $+\infty$ si

$$\forall A\in\mathbb{R}_{+}^{*}\quad\exists N\in\mathbb{N}$$ tel que pour tout $$n\geqslant N$$ on a $$u_{n}>A$$

Exercice 6.18   Déterminer les limites éventuelles des suites définies par :

$$u_{n}=\sqrt{n^{2}+2n-1}\qquad v_{n}=\frac{2n-3}{3n+5}\qquad w_{n}=\sqrt {n^{2}+n}-\sqrt{n}$$