Croissance comparée

Le comportement de la suite $\left( a^{n}\right)$ se résume par le tableau suivant :

$$\begin{tabular}[c]{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert}\hlin... ... vers $0$\ & converge vers $1$\ & diverge vers $+\infty$\\ \hline \end{tabular}$$

Le comportement de la suite $\left( n^{\alpha}\right) _{n\in\mathbb{N}^{*}}$ avec $\alpha\in\mathbb{R}$ se résume par le tableau suivant :

$$\begin{tabular}[c]{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert}\hline & $\a... ... vers $0$\ & converge vers $1$\ & diverge vers $+\infty$\\ \hline \end{tabular}$$

Théorème 6.4   Si $a\in\left] 1,+\infty\right[$ et si $\alpha\in\mathbb{Z},$ alors la suite $\left( \dfrac{a^{n}}{n^{\alpha}}\right) _{n\geqslant1}$ diverge vers $+\infty .$

Théorème 6.5   Si $a\in\left] -1,1\right[$ et $\alpha\in\mathbb{Z},$ alors la suite $\left( a^{n}n^{\alpha}\right) _{n\geqslant1}$ converge vers $0.$

Théorème 6.6   Si $\alpha>0,$ alors la suite $\left( \dfrac{n^{\alpha}}{\ln n}\right)$ diverge vers $+\infty .$

Exercice 6.20   Déterminer les limites éventuelles suivantes :

$$\lim_{n\rightarrow+\infty}\left( 2^{n}-n^{100}\right) \qquad\lim ... ...ght) \qquad\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\left( \ln n\right) ^{10}}{n^{0,1}}$$