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Suites adjacentes

Définition 6.7   Deux suites $ \left( u_{n}\right)
$ et $ \left( v_{n}\right) $ sont dites adjacentes si la suite $ \left( u_{n}\right)
$ est croissante, la suite $ \left( v_{n}\right) $ est décroissante et si $ \left( v_{n}
-u_{n}\right) $ tend vers 0 quand $ n$ tend vers l'infini.

Une des conséquences de cette définition est que pour tout $ n$ de $ \mathbb{N},$ $ u_{n}\leqslant v_{n}.$

Théorème 6.7   Deux suites adjacentes sont convergentes et convergent vers la même limite.

Exercice 6.21   On considère les suites $ \left( u_{n}\right)
$ et $ \left( v_{n}\right) $ définies par :

$\displaystyle u_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}\qquad v_{n}=u_{n}
+\frac{1}{n}
$

Vérifier que ces deux suites sont adjacentes.



Michel 2002-08-06