Suites extraites

Définition 6.8   Soient $\left( u_{n}\right)$ et $\left( v_{n}\right)$ deux suites. On dit que $\left( v_{n}\right)$ est extraite de $\left( u_{n}\right)$ s'il existe une application $\varphi$ strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ telle que

$$\forall n\in\mathbb{N\qquad}v_{n}=u_{\varphi\left( n\right) }$$

On dit aussi que $\left( v_{n}\right)$ est une sous-suite de $\left( u_{n}\right) .$ Par exemple, la suite $\left( v_{n}\right)$ définie par $v_{n}=u_{2n}$ pour tout $n$ est une suite extraite de la suite $\left( u_{n}\right) .$

Proposition 6.5   Si $\left( u_{n}\right)$ est une suite convergente, alors toute suite extraite de $\left( u_{n}\right)$ est convergente vers la même limite.

Proposition 6.6   Si les suites $\left( u_{2n}\right)$ et $\left( u_{2n+1}\right)$ convergent vers la même limite $l,$ alors la suite $\left( u_{n}\right)$ est convergente vers $l.$

Remarque : On considère la suite $\left( u_{n}\right)$ définie par :

$$\left\{ \begin{array}[c]{l} u_{n}=0\text{ si }n\text{ n'est ... ...{n}=1\text{ si }n\text{ est multiple de }60 \end{array}\right.$$

Vérifier que les suites $\left( u_{3n+2}\right) ,$ $\left( u_{4n+1}\right)$ et $\left( u_{5n+3}\right)$ sont convergentes, et que la suite $\left( u_{n}\right)$ est divergente.