Exercices

Exercice 6.22   Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ ( unité graphique : 6 cm ). On considère la suite $\left( \alpha_{n}\right)$ de nombres réels définie par $\alpha_{0}=\frac{\pi}{2}$ et pour tout entier naturel $n,$

$$\alpha_{n+1}=\alpha_{n}+\frac{5\pi}{6}%%$$

Pour tout entier naturel $n,$ on appelle $M_{n}$ le point du cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ de rayon $1$ tel que l'angle

$$\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{OM_{n}}\right)$$

ait pour mesure $\alpha_{n}$.

1. Placer les douze points $M_{0},$ $M_{1},$ $M_{2},\ldots,M_{11}$.

2. On appelle $z_{n}$ l'affixe de $M_{n}.$ Montrer que pour tout entier naturel $n,$ on a l'égalité :
   $$z_{n}=e^{i\left( \frac{\pi}{2}+\frac{5n\pi}{6}\right) }%%$$

3. 1. Montrer pour tout entier naturel $n,$ les propriétés suivantes :
      • les points $M_{n}$ et $M_{n+6}$ sont diamétralement opposés;

      • les points $M_{n}$ et $M_{n+12}$ sont confondus.

   2. Montrer que pour tout entier naturel $n,$ on a l'égalité :
      $$z_{n+4}=e^{-\frac{2i\pi}{3}}z_{n}%%$$
      En déduire que la distance $M_{n}M_{n+4}$ vaut $\sqrt{3}$ puis que le triangle $M_{n}M_{n+4}M_{n+8}$ est équilatéral.
      On admettra que tous les triangles équilatéraux ayant pour sommets des points $M_{n}$ sont de la forme $M_{n}M_{n+4}M_{n+8}$.

4. Douze cartons indiscernables au toucher, marqués $M_{0},$ $M_{1},$ $M_{2},\ldots$, $M_{11}$ sont disposés dans une urne. On tire au hasard et simultanément trois cartons de l'urne. Calculer la probabilité d'obtenir les trois sommets d'un triangle équilatéral.

   
   

Exercice 6.23   On se propose de démontrer dans cet exercice que la suite $\left( \cos n\right)$ est divergente.

1. Simplifier à l'aide des formules trigonométriques les expressions $\left[ \cos\left( n+2\right) +\cos n\right]$ et $\cos\left( 2n\right) .$

2. En déduire une démonstration du résultat proposé.

Exercice 6.24   ( Baccalauréat ) On considère la suite numérique $\left( u_{n}\right)$ définie par

$$u_{0}=1$$ et 2$$u_{n+1}=u_{n}-1$$ pour tout $$n$$ de $$\mathbb{N}$$

1. Calculer les cinq premiers termes de la suite $\left( u_{n}\right) .$

2. Soit $\left( v_{n}\right)$ la suite numérique définie par $v_{n}=u_{n}+a$ pour tout $n$ de $N,$ où $a$ est un réel donné.
   1. Déterminer le nombre réel $a$ de façon que la suite $\left( v_{n}\right)$ soit une suite géométrique.

   2. En déduire les valeurs de $v_{n}$ et de $u_{n}$ en fonction de $n.$

   3. Etudier le sens de variation et la convergence de la suite $\left( u_{n}\right) .$

   4. Trouver le plus petit entier positif $n$ tel que $u_{n}+1<10^{-4}.$

3. Calculer
   $$S_{n}=\sum_{k=0}^{k=n}u_{k}$$

Exercice 6.25  

1. On pose, pour tout entier naturel $n$ non nul,
   $$I_n=\frac{1}{n!}\int_0^1(1-x)^ne^{-x}dx.$$
   1. Á l'aide d'une intégration par parties, calculer I$_1$.
   2. Prouver que , pour tout entier naturel $n$ non nul,
      $$0\leqslant I_n\leqslant \frac{1}{n!}\int_0^1e^{-x}dx.$$
      En déduire $\lim_{n\to+\infty}I_n.$
   3. Montrer, en utilisant une intégration par parties, que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a:
      $$I_{n+1}=\frac{1}{(n+1)!}-I_n$$

2. On considère la suite réelle $(a_n)$, définie sur ${\mathbb{N}^*}$ par $a_1=0$ et, pour tout entier naturel $n$ non nul,
   $$a_{n+1}=a_n+\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}.$$
   1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul,
      $$a_n=\frac{1}{e}+(-1)^nI_n.$$

   2. En déduire $\lim_{n\to+\infty}a_n.$

Exercice 6.26   Partie A
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$$f(x)=x-e^{2x-2}$$

On note $(C)$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $\left( O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.
On prendra 5 cm comme unité.

1. 1. Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ .

   2. Vérifier que pour tout réel $x$ non nul :
      $$f(x)=x\,\left[ 1-2e^{-2}\times\left( \frac{e^{2x}}{2x}\right) \right]$$
      Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.

2. Déterminer $f^{\prime}$. Etudier le signe de $f^{\prime}(x)$ et calculer la valeur exacte du maximum de $f$.

3. Démontrer que la droite $(D)$ d'équation : $y=x$ est asymptote à la courbe $(C)$.
   Etudier la position relative de $(C)$ et de $(D)$.

4. On note $A$ le point de la courbe $(C)$ d'abscisse 1.
   Déterminer une équation de la tangente $(T)$ en $A$ à la courbe $(C)$.

5. 1. On note $I$ l'intervalle $[0; 0,5]$.
      Démontrer que l'équation : $f(x)=0$ admet dans l'intervalle $I$ une unique solution qu'on notera $a$.

   2. Déterminer une valeur approchée à $10^{-1}$ près de $a$.

6. Construire la courbe $(C)$, l'asymptote $(D)$ et la tangente $(T)$.

Partie B
Détermination d'une valeur approchée de $\mathbf{a}$
On définit dans $\mathbb{R}$ la suite $(u_{n})$ par :

$$u_{o}=0$$ et $${u_{n+1}=e^{2u_{n}-2}}$$

1. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
   $$g(x)=e^{2x-2}$$
   
   Démontrer que l'équation : $f(x)=0$ est équivalente à : $g(x)=x$.
   En déduire $g(a)$.

2. Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$ on a :
   $$\vert g^{\prime}(x)\vert\leqslant\frac{2}{e}$$

3. Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$, $g(x)$ appartient à $I$.

4. Utiliser l'inégalité des accroissements finis pour démontrer que, pour tout entier naturel $n$ :
   $$\vert u_{n+1}-a\vert\leqslant\frac{2}{e}\vert u_{n}-a\vert$$

5. Démontrer, par récurrence que :
   $$\vert u_{n}-a\vert\leqslant\left( \frac{2}{e}\right) ^{n}$$

6. En déduire que la suite $(u_{n})$ converge et donner sa limite.

7. Déterminer un entier naturel $p$ tel que :
   $$\vert u_{p}-a\vert<10^{-5}$$

8. En déduire une valeur approchée de $a$ à $10^{-5}$ près : on expliquera l'algorithme utilisé sur la calculatrice.