Variance, écart-type

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L'espérance mathématique ne suffit pas à décrire une variable aléatoire. En effet, deux variables aléatoires distinctes peuvent avoir la même espérance. On définit donc un autre indicateur :

Définition 11   La variance d'une variable aléatoire $X$, notée $V(X)$, est, si elle existe, l'espérance mathématique de la variable aléatoire

$$\left(X-E(X)\right)^{2}$$

On peut montrer facilement la propriété suivante :

Théorème 1   $V(X)=E(X^{2})-\left[E(X)\right]^{2}$

qui a pour conséquence :

Proposition 3   $V(aX+b)=a^{2}V(X)$

Dans le cas d'une variable aléatoire continue $X$, la variance est définie par :

$$V(X)=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)(t-\overline{X})^{2}dt$$

Définition 12   L'écart-type $\sigma (X)$ est la racine carrée de la variance.

Il mesure la dispersion des valeurs prises par la variable aléatoire autour de son espérance.