Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson

Théorème 2   On admet que si $n$ est grand, $p$ voisin de 0 et $np$ pas trop grand, alors la loi $\mathcal{B}(n,p)$ est très proche de la loi $\mathcal{P}(\lambda )$, où $\lambda$=np.

Dans une entreprise, on considère que la probabilité d'obtenir un article défectueux à la sortie d'une chaine de fabrication est $p=0,05$. Lors d'un contrôle de qualité, on envisage de prélever un échantillon de 120 articles. Bien que ce prélèvement soit exhaustif, nous considérons que la production est suffisamment importante pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à 120 tirages avec remise, donc indépendants, d'un article défectueux ou non. La variable aléatoire $X$ mesurant le nombre d'articles défectueux d'un tel échantillon suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left(120;0,05\right)$, et l'espérance mathématique de $X$ est $120\times 0,05=6$. Comparons la loi de $X$ avec celle d'une variable aléatoire $Y$ suivant la loi de Poisson $\mathcal{P}(6)$.

$k$	Loi de $X$	Loi de $Y$
0	0,002	0,002
1	0,013	0,015
2	0,042	0,045
3	0,087	0,089
4	0,134	0,134
5	0,163	0,161
6	0,165	0,161
7	0,141	0,138
8	0,105	0,103
9	0,069	0,069

On observe que la loi de la variable $Y$ est suffisamment proche de celle de $X$ pour qu'on puisse utiliser la loi de Poisson pour calculer, par exemple, la probabilité qu'un échantillon de 120 articles contienne au moins un article défectueux, puis la probabilité que cet échantillon contienne au plus trois articles défectueux.

Remarque 1   On admet en général d'utiliser cette approximation lorsque $n\geqslant 30$, $p\leqslant 0,1$ et $np<15$, ou lorsque $p\leqslant 0,1$ et $np\leqslant 10$.

Exemple 1   Dans une fabrication en série, 8% des articles présentent des défauts. Calculer la probabilité que sur 100 contrôles, il y ait 6 articles défectueux.

On a $n=100$, $p=0,08$. Nous sommes dans le cas où nous pouvons approximer la loi binomiale par la loi de Poisson de paramètre $\lambda =np=100\times 0,08=8$. On en déduit donc :

$$p=e^{-8}\times \frac{8^{6}}{6!}\backsimeq 0,122$$