Approximation d'une loi binomiale par une loi normale

Théorème 5   On admet que si $n$ est `` grand ``, et $p$ ni trop voisin de 0, ni trop voisin de 1, alors la loi $\mathcal{B}(n,p)$ est très proche de la loi $\mathcal{N}(m,\sigma )$, où

$$m=np\; \sigma =\sqrt{np(1-p)}$$

L'intérêt de cette approximation est de simplifier le calculs numériques. On convient en général d'utiliser cette approximation lorsque $np$ et $n(1-p)$ sont supérieurs à 15, ou lorsque $np$ et $n(1-p)$ sont supérieurs à 20.

Exercice 6   Lançons cinquante fois une pièce de monnaie équilibrée. Soit $X$ la variable aléatoire mesurant le nombre de `` face `` obtenu. Déterminer la probabilité d'obtenir 25 fois face, en utilisant la loi binomiale, puis en approximant cette loi par une loi normale.

D'autres exercice dont la correction est à la fin du polycopié :

Exercice 7   Sachant que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale $N\left(100;0,4\right),$ calculer les probabilités suivantes:

1. $p_{1}=p\left(X\leqslant 101,2\right).$
2. $p_{2}=p\left(X>101,2\right)$
3. $p_{3}=p\left(99,6\leqslant X\leqslant 100,4\right)$

Exercice 8   Sachant que la variable aléatoire $Y$ suit la loi de Poisson de paramètre $2,8$, calculer les probabilités suivantes:

1. $p_{4}=p\left(Y=4\right).$
2. $p_{5}=p\left(Y\leqslant 4\right)$
3. $p_{6}=p\left(2<Y<5\right)$

Exercice 9   Dans une salle d'informatique se trouvent huit ordinateurs. La probabilité que l'un d'eux tombe en panne dans l'année est de 0,05.

1. Quelle est la probabilité $p_{7}$ que deux appareils exactement tombent en panne dans l'année ?
2. Quelle est la probabilité $p_{8}$ qu'au moins un appareil tombe en panne dans l'année ?

Exercice 10   Dans un laboratoire de fabrication de résistances une étude a montré que la probabilité pour qu'une résistance tirée au hasard soit défectueuse est $0,002$. Une entreprise achète un lot de 1000 résistances. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de résistances défectueuses du lot

1. Quelle est la loi de probabilité suivie en toute rigueur par $X$ ? Préciser ses paramètres.
2. On admet que la loi de probabilité $X$ du lot peut être approchée par une loi de Poisson de paramètre $np.$ Déduire de la question précédente le paramètre $\lambda$ de la loi de Poisson qui lui est substituée.
3. En déduire, en utilisant une table de la loi de Poisson, la probabilité de l'événement ( $X\leqslant 2$).

Exercice 11   Une machine usine des pièces dont la longueur $X$ exprimée en mm suit une loi normale de moyenne $m=54$ et d'écart-type $\sigma =0,20$. Une pièce est considérée comme bonne si $53,60\leqslant X\leqslant 54,30$.

1. Calculer la probabilité qu'une pièce soit bonne.
2. Calculer le pourcentage de pièces défectueuses.
3. Pour prévenir un déréglage de la machine on détermine des cotes d'alerte $54-h$ et $54+h$ définies par :
   $$p\left(54-h\leqslant X\leqslant 54+h\right)=0,95$$
   Déterminer la valeur de $h$ et en déduire ces cotes d'alerte. On donnera des valeurs approchées à $10^{-2}$ millimètre près.

Exercice 12   Une variable aléatoire $X$ suit une loi normale de moyenne $800$ et d'écart-type $\sigma$ inconnu. Sachant que $p\left(X\leqslant 822,5\right)=0,9332,$ calculer l'écart-type $\sigma .$