Loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$.

Définition 17   La loi normale $\mathcal{N}(0,1)$ s'appelle la loi normale centrée réduite.

Théorème 3   Si une variable aléatoire $X$ suit la loi normale, alors la variable aléatoire

$$T=\frac{X-m}{\sigma }$$

suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$.

Ce résultat est très important, car il permet de limiter l'étude des lois normales à celle de la seule loi normale centrée réduite, dont la densité de probabilité a pour représentation graphique la courbe suivante :

Le formulaire officiel de mathématiques des classes de bts ne donne des informations que sur la loi normale centrée réduite. La fonction de répartition y est notée $\Pi$. L'aire hachurée sur la courbe ci-dessus est donc égale à $\Pi (t)$. Pour calculer la probabilité d'un évènement concernant une variable aléatoire $T$ suivant la loi normale centrée réduite, on utilise la table du formulaire et les deux propriétés suivantes de cette courbe :

• Cette courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• L'aire totale comprise entre la courbe et l'axe des abscisses est égale à 1.

Exemple 2   Le formulaire donne directement

$$P(T\leqslant 1,67)=\Pi (1,67)\backsimeq 0,9525$$

Comme de plus $T$ est une variable aléatoire continue, on a $P(T=1,67)=0$, et donc on peut dire que

$$P(T\leqslant 1,67)=P(T=1,67)+P(T<1,67)=P(T<1,67)$$

De même,

$$P(T\geqslant 1,25)=1-P(T<1,25)=1-\Pi (1,25)\backsimeq 0,1056$$

On a aussi :

$$P(T\leqslant -1,67)=\Pi (-1,67)=P(T\geqslant 1,67)=1-\Pi (1,67)\backsimeq 0,0475$$

en utilisant la symétrie de la courbe par rapport à l'axe des ordonnées. En utilisant les mêmes arguments, on démontre ainsi :

Théorème 4   Pour tout $t_{1}$ et $t_{2}$, on a :

$$P(t_{1}\leqslant T\leqslant t_{2})=\Pi (t_{2})-\Pi (t_{1})\; P(-t\leqslant T\leqslant t)=1-2\Pi (t)\; \Pi (-t)=1-\Pi (t)$$

Exercice 5   Calculer $P(-1\leqslant T\leqslant 1)$ pour la loi normale centrée réduite.

Si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale $\mathcal{N}(m,\sigma )$, on a vu que la variable aléatoire

$$T=\frac{X-m}{\sigma }$$

suit la loi normale centrée réduite, et donc on a en particulier les relations pour tout $t>0$ :

$$P(-t\leqslant T\leqslant t)=P(-t\leqslant \frac{X-m}{\sigma }\leqslant t)=P(m-t\sigma \leqslant X\leqslant m+t\sigma )$$