Lois normales

Théorème 8   Soit $X_{1}$ et $X_{2}$ deux variables aléatoires indépendantes suivant les lois normales respectives $\mathcal{N}(m_{1},\sigma _{1})$ et $\mathcal{N}(m_{2},\sigma _{2})$, alors $X_{1}+X_{2}$ suit la loi normale de moyenne $m_{1}+m_{2}$, et d'écart-type $\sqrt{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}$.

On remarquera qu'avec les mêmes hypothèses, $X_{1}-X_{2}$ suit la loi normale de moyenne $m_{1}-m_{2}$, et d'écart-type $\sqrt{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}}$.

Exercice 13   Les deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sont indépendantes et suivent respectivement les lois normales $\mathcal{N}(22;4)$ et $\mathcal{N}(18;3)$. Soit $Z$ la variable aléatoire égale à $X+Y$.

1. Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de $Z$.
2. Déterminer $p(34\leqslant Z\leqslant 48)$.
3. Déterminer le nombre réel positif $\alpha$ tel quel la probabilité de l'évènement
   $$40-\alpha \leqslant Z\leqslant 40+\alpha$$
   soit égale à 0,95.